A continuación te voy a explicar qué propiedades tienen las ecuaciones de segundo grado, una vez conocidas las soluciones, con las cuales, podremos obtener ecuaciones de segundo grado a partir de sus soluciones. Veremos también qué es la forma canónica de una ecuación de segundo grado.
¡Vamos allá!
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Propiedades de las ecuaciones de segundo grado
En cualquier ecuación de segundo grado:
Cuyas soluciones (también llamadas raíces) son x1 y x2:
tenemos las siguiente propiedades:
Suma de las raíces
Esta propiedad nos dice que en cualquier ecuación de segundo grado, la suma de sus soluciones es igual a -b/a, donde b y a son los coeficientes de la ecuación de segundo grado.
Producto de las raíces
Por otro lado, el producto de sus soluciones es igual a c/a, donde c y a son los coeficientes de la ecuación de segundo grado
Ejercicio resuelto sobre propiedades de las ecuaciones de segundo grado
Vamos a resolver un ejercicio donde apliquemos las propiedades de las ecuaciones de segundo grado y para que te quede más claro lo que acabamos de explicar.
El ejercicio dice así:
Dada la siguiente ecuación:
Determinar los valores de los coeficientes b y c, sabiendo que sus soluciones son x1=0 y x2=2.
Empezamos aplicando la propiedad de la suma:
En nuestro caso, a=1, ya que delante del término x² no tenemos nada, luego la fórmula anterior nos queda:
Sustituimos x1 y x2 por sus valores:
Operamos en el primer miembro:
Y finalmente despejamos b:
Ahora aplicamos la propiedad del producto:
Igual que antes, como a=1, la fórmula nos queda:
Sustituimos las soluciones por sus valores:
Y operamos:
Por tanto, una vez conocimos los valores de b y c, la ecuación de segundo grado nos queda así:
Como ves, aplicando estas dos propiedades, podemos llegar a determinar la ecuación de segundo grado si conocemos sus soluciones.
Forma canónica de una ecuación de segundo grado
Si has entendido el ejercicio anterior, entenderás qué es la forma canónica de segundo grado, ya que puede que el nombre te asuste un poco.
Se le llama forma canónica de una ecuación de segundo grado a las ecuaciones cuyo coeficiente del término con x² es igual a 1:
Aplicando lo que hemos visto en el ejercicio anterior, cuando a=1, si a la suma de las soluciones las llamamos S:
Y al producto de las soluciones la llamamos P:
La ecuación la podemos escribir como:
Y directamente obtendríamos la ecuación de segundo grado.
Por ejemplo, el ejercicio anterior nos quedaría así:
La suma de la soluciones es:
El producto de las soluciones nos queda:
Y sustituyendo S y P en la ecuación:
Nos queda:
Cuyo resultado es el mimo que en el ejercicio (como no podía ser de otra forma)
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