Propiedades de los determinantes. Ejercicios resueltos paso a paso.

Propiedades de los determinantes. Ejercicios resueltos paso a paso.

En esta lección vamos a ver las propiedades de los determinantes. Las propiedades de los determinantes nos permiten calcular un determinante sin necesidad de desarrollarlo, lo cual es especialmente útil en determinantes cuyos elementos sean letras o que su desarrollo sea algo complejo.

Veremos cómo aplicarlas con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Propiedades de los determinantes

Propiedad 1

El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su traspuesta:

Por ejemplo:

Tenemos el siguiente determinante:

Lo resolvemos aplicando regla de Sarrus:

Y operamos:

Ahora obtenemos su traspuesta:

Y volvemos a resolver el determinante:

Operamos y llegamos al mismo resultado:

 

Además, si te das cuenta, al desarrollar el determinante y el de sus traspuesta, los términos que se obtienen son los mismos.

Por tanto, teniendo en cuenta esta propiedad, todas las propiedades que se nombren para filas, son igual de válidas para columnas.

Propiedad 2

Si los elementos de una fila o una columna se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

Por ejemplo, tenemos la matriz A:

Cuyo determinante es:

Multiplicamos la primera columna de la matriz A por dos y obtenemos la matriz B:

Cuyo determinante es el doble que el de la matriz A:

Por tanto, como la matriz B se ha obtenido al multiplicar la primera columna de la matriz A por dos, el determinante de la matriz B es igual al determinante de la matriz A multiplicada por 2, es decir, el determinante ha quedado multiplicado por el mismo número por el que se ha multiplicado la columna:

Esta propiedad permite sacar fuera del determinante los elementos comunes de una fila o columna, simplificando así los cálculos.

Por ejemplo, tenemos el siguiente determinante:

Vemos que la tercera columna tiene como factor común el 10, por tanto, puedo sacarlo fuera del determinante, dividiendo los cada elemento de esa columna entre 10, lo que simplificará los cálculos:

Propiedad 3

Si los elementos de una fila  o columna de una matriz, se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de los determinantes que tienen iguales todas las filas o columnas, excepto dicha fila o columna, cuyos sumandos pasan a cada uno de los determinantes.

Por ejemplo:

Vemos que la segunda columna se puede dividir en dos sumandos, por lo que su determinante es igual a la suma de los determinantes donde cada uno tiene como segunda columna cada uno de los sumandos.

Si calculamos el determinante de la matriz original nos da:

Ahora calculamos el determinante con la segunda columna formada por el primer sumando:

Y hacemos lo mismo con el determinante con la segunda columna formada por el segundo sumando:

Y vemos que la suma de estos dos determinantes es igual al determinante original.

Propiedad 4

El determinante del producto de dos matrices cuadradas  Jes igual al producto de los determinantes de cada matriz:

Por ejemplo, tenemos las matrices A y B:

La multiplicación de estas dos matrices es:

Cuyo determinante es:

Por otro lado, si calculamos el determinante de la matriz A:

Y el determinante de la matriz B:

Vemos como la multiplicación de esos determinantes es igual al determinante de la multiplicación:

Propiedad 5

Si en una matriz cuadrada se intercambian dos filas entre sí, el determinante cambia de signo.

Por ejemplo, tenemos el siguiente determinante, en el que hemos calculado su valor:

Vamos a intercambiar por ejemplo la fila 1 por la fila 3:

Después de realizar el cambio, vemos como el resultado del determinante es el mismo pero con signo contrario:

Por esta propiedad, lo que se suele hacer para simplificar cálculos a la hora de desarrollar determinantes es realizar operaciones internas con sus columnas. Así, no tenemos que estar pendientes de si el determinante cambia de signo o no.

Propiedad 6

Cuando un determinante tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero.

Por ejemplo, en el siguiente determinante, vemos como las filas 2 y 3 son iguales, por lo que su valor es cero:

Propiedad 7

Cuando un determinante, tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es cero.

Por ejemplo, en el siguiente determinante, la fila 3 es tres veces la fila 2, por lo tanto, su valor es cero:

Propiedad 8

Si los elementos de una fila o columna son combinación lineal de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

Por ejemplo, en el siguiente determinante la fila 3 es igual a la fila 1 más la fila 2, así que, su determinante es cero:

Por otro lado, si un determinante tiene una fila o una columna de ceros, su determinante también es cero, como por ejemplo:

Propiedad 9

Si a los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una combinación linea de otras filas o columnas, el determinante no varía.

Por ejemplo, en el siguiente determinante:

A la columna 1 le vamos a sumar cinco veces la columna 2 y dos veces la columna 3. Nos queda:

Por la propiedad 3, podemos separar ese determinante en tres determinantes, cuya primera columna corresponde a cada uno de los sumandos:

Y ahora, vemos que en el segundo determinante, la primera columna es cinco veces la segunda, luego su valor es igual a cero por tener dos columnas proporcionales. Con el tercer determinante pasa lo mismo: la primera columna es dos veces la tercera, luego su valor también es cero.

Por tanto, me vuelve a quedar de nuevo el determinante original, luego su valor no ha variado:

Ejercicios resueltos de aplicación de las propiedades de los determinantes

Vamos a ver ahora cómo aplicar las propiedades de los determinantes resolviendo algunos ejercicios.

Ejercicio 1

Calcula el siguiente determinante sin desarrollarlo, aplicando las propiedades de los determinantes:

En primer lugar, sumamos la columna 1, más la columna 2, más la columna 3 y el resultado lo dejamos en la columna 3:

Esto lo hemos hecho ya que después de realizar la suma, en la tercera columna nos queda el mismo factor en los tres elementos de la columna, es decir, 1+a+b+c:

Al tener el mismo factor repetido en todos los elementos de la columna, podemos sacarlo fuera de la matriz (propiedad 2), dividiendo cada elemento de la columna entre (1+a+b+c):

Ahora, vemos que las columnas 1 y 3 son iguales, por lo que el determinante es igual a cero y por tanto, nos queda cero al multiplicarlo por el factor que habíamos sacado fuera:

Ejercicio 2

Calcula el valor del siguiente determinante:

Ejercicio 3

Calcula el siguiente determinante a partir de las propiedades de los determinantes:

Este determinante se resuelve sacando fuera los factores que se repiten en las filas y columnas del determinante.

En primer lugar, tenemos la “a” que se repite en la primera fila, luego la sacamos fuera y dividimos cada elemento de la primer fila entre “a”:

Ahora hacemos lo mismo con la “b” que se repite en la primera columna:

Seguimos sacando fuera la “c” que se repite en la segunda columna:

Volvemos a sacar otra “a” que se repite en la  tercera columna:

Sacamos otra “b” que se repite en la segunda fila:

Y por último sacamos otra “c” que se repite en al tercera fila:

Una vez hemos simplificado el determinando sacando fuera los factores que se repiten, calculamos el determinante simplificado que nos queda, aplicando la regla de Sarrus:

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