Cómo racionalizar radicales. Ejercicios resueltos paso a paso

¿Sabes qué es racionalizar?

RACIONALIZAR RADICALES consiste en eliminar las raíces del denominador.

Para deshacernos de las raíces del denominador, evidentemente no basta con quitarlas de ahí, ya que modificaríamos el resultado de la expresión. Hay que encontrar una expresión equivalente  a la original pero sin raíces en el denominador.

¿Y eso como hacemos eso? Pues vamos a verlo

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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Cómo racionalizar radicales en expresiones con radicales en el denominador

Tenemos dos casos en los que podemos racionalizar radicales, es decir, eliminar los radicales del denominador:

1- Cuando en el denominador tenemos una sola raíz (no importa el índice), como por ejemplo éstas expresiones:

racionalizar radicales

2- Cuando en el denominador hay una suma o resta en el que un término o los dos sea una raíz CUADRADA, como por ejemplo:

racionalización de radicales ejercicios resueltos

Vamos a ver con todo detalle y paso a paso, cómo racionalizar radicales en cada uno de ellos.

Cómo racionalizar radicales en expresiones con una raíz en el denominador

Para racionalizar radicales cuando sólo tengamos una raíz en el denominador, vamos a eliminarla aplicando la siguiente propiedad:

como racionalizar radicales

Es decir, tenemos que conseguir que la raíz se anule y para ello debemos hacer que el exponente sea igual que el índice.

Para conseguirlo, tenemos que multiplicar la raíz del denominador, por otra raíz, tal que al multiplicarlas, su resultado sea otra raíz que se anule. Y para no modificar el resultado, se multiplica el numerador por la misma raíz.

Para ello, debes tener en cuenta que:

  • Las raíces deben tener el mismo índice para poderlas multiplicar
  • Al multiplicar dos potencias con la misma base, se suman los exponentes
  • El exponente del radicando de la nueva raíz, debe complementarse con el exponente del radicando de la raíz actual, para que su suma sea igual al índice de las raíces

Vamos a verlo más despacio con un ejemplo:

racionalizar ejemplos

Para empezar a eliminar la raíz del denominador, la multiplicamos por otra que tenga el mismo índice:

racionalización ejercicios resueltos y explicados

El radicando de la nueva raíz, debe ser una potencia con la misma base que la raíz actual:

ejercicios resueltos de racionalización

Y su exponente, debe ser tal, que al sumarlo con el exponente de la raíz actual, su resultado sea igual al índice. Es decir, el exponente del radicando de la raíz actual es 2 y queremos otro exponente (x) que al sumarlo, el resultado sea 5, por tanto, ese exponente será 3:

pasos para racionalizar

Y lo colocamos en la nueva raíz:

racionalización de denominadores ejercicios resueltos

Ahora que hemos obtenido la raíz por la que tenemos que multiplicar el denominador, para no modificar el resultado de la expresión, debemos multiplicar también el numerador:

ejemplos de racionalizar

Y a partir de aquí, empezamos a realizar la multiplicación en el denominador. En primer lugar, unimos las dos raíces en una:

racionalizar raices ejemplos resueltos

Multiplicamos las potencias, manteniendo la base y sumando los exponentes:

racionalizar ejercicios

Y finalmente, la raíz se anula con el exponente del radicando, que era lo que estábamos buscando desde el principio:

racionalizar radicales ejercicios resueltos

Vamos a ver otro ejemplo de racionalizar radicales, para que te quede aún más claro:

racionalizar el denominador ejercicios resueltos

En primer lugar, multiplicamos por una raíz con el mismo índice:

racionalización paso a paso

Dentro de la nueva raíz, la potencia debe tener la misma base:

ejercicios de racionalización resueltos

Y su exponente resulta de restar el índice menos el exponente del radicando de la raíz actual:

racionalización de denominadores ejercicios resueltos

ejercicios de racionalizacion de denominadores

Multiplicamos también el numerador por la raíz obtenida:

ejercicios de racionalizar resueltos

Y empezamos a multiplicar las raíces en el denominador, unificándolas en una sola raíz:

racionaliza cada expresión

Ahora multiplicamos las potencias que tenemos dentro de la nueva raíz, manteniendo la base y sumando los exponentes:

ejemplos de racionalización de denominadores

Y finalmente se anula la raíz del denominador:

racionalizar raíces

Voy a pasar a explicarte ahora el segundo caso de racionalizar radicales.

Cómo racionalizar radicales en expresiones con una suma o resta de raíces en el denominador

El segundo caso de racionalizar radicales consiste, como te he indicado al principio de la lección, en que en el denominador tenemos una suma o una resta de dos términos, donde al menos un de ellos es una raíz cuadrada.

Es muy importante remarcar que sea raíz cuadrada, ya que si tiene otro índice, este procedimiento no sería válido y no podría racionalizarse.

Como en el caso anterior, tenemos que eliminar las raíces, pero esta vez lo haremos con la ayuda de la propiedad de que una suma por una diferencia es igual a la diferencia de cuadrados:

racionalizar numerador y denominador al mismo tiempo

Para ello, tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Para obtener el conjugado de una suma o de una resta (de un binomio), tan sólo tenemos que cambiar el signo central. Por ejemplo, el conjugado de:

que es racionalizar en matematicas

Sería respectivamente:

radicales conjugados

Como ves, sólo hemos cambiado el signo central.

Sabiendo ésto, vamos a explicar un ejemplo paso a paso:

que es racionalizar matematicas

Para racionalizar radicales en esta expresión, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que lo hemos obtenido cambiándole el signo menos por un signo más:

racionaliza el denominador de cada expresión

Ahora aplicamos la propiedad de la diferencia de cuadrados en el denominador:

ejercicios racionalizar

como se racionaliza una raiz cubica

Y resolvemos los cuadrados:

racionalizar raiz

Como has visto, al elevar las raíces al cuadrado, se han anulado, que era lo que buscábamos, por eso, este procedimiento sólo es válido con raíces cuadradas.

Ahora sin raíces, seguimos operando para simplificar la expresión:

racionalizar denominadores

Vamos con otro ejemplo:

ejercicios de racionalizar

Empezamos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

ejercicios de racionalizar 4 eso

Aplicamos el producto notable de la diferencia de cuadrados en el denominador;

racionalizacion de raices ejercicios resueltos

Resolvemos los cuadrados y se anula el término que tenía la raíz:

conjugado del denominador

Y ahora operamos para simplificar la expresión:

racionalizar ejercicios resuetos

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