A continuación vamos a ver cómo obtener una recta que se apoya en otras dos rectas dadas y que sea paralela a otra recta o bien sea paralela a un vector de dirección dado, con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Cómo obtener la ecuación de una recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera
En esta lección tienes explicado con todo detalle cómo obtener la ecuación de una recta que se apoye en otras dos rectas dadas, con un ejemplo, que básicamente consistía en tomar un punto genérico de cada recta, P1 y P2, para obtener el vector formado por dichos puntos. La recta que se apoya sobre otras dos, tendrá como punto perteneciente a ella P1 (o P2 también podria ser) y su vector de dirección será el vector formado por los puntos genéricos P1 y P2.
Cada punto genérico de la recta tendrá esta forma, obtenido a partir de las ecuaciones parmétricas de la recta:
Una vez tengamos los puntos genéricos de cada recta, sa recta que se apoya sobre otras dos, tendrá como punto perteneciente a ella P1 (o P2 también podria ser) y el vector director será el vector formado por los puntos genéricos P1 y P2:
Nos quedará una ecuación de la recta que dependerá de dos parámetros: t y s.
Para obtener la ecuación de una recta que se apoya en otras dos y es paralela a una tercera, debemos obligar a que el vector director de la recta genérica P1P2, sea proporcional al vector director de la tercera recta dada. Para ello, tenemos que dividir componente a compomenente de cada vector e igualar cada uno de los cocientes, obteniendo los valores de t y s que cumplan esa condición.
Ejercicio resuelto sobre una recta que se apoya en otras dos y es paralela a una tercera
Vamos a reslver un ejercicio sobre cómo calcular la ecuación de una recta que se apoye en otras dos rectas dadas y que sea paralela a otra recta dada, siguiendo el procedimiento explicado en el apartado anterior.
Tenemos las ecuaciones de las rectas r1 y r2:
Nos piden calcular la ecuación de la recta que se apoya en las rectas r1 y r2 y que sea paralela a la recta s:
Vamos a empezar obteniendo la ecuación de la recta que se apoya en las rectas r1 y r2.
En la ecuación de la recta r1:
Obtenemos las coordenadas de un punto genérico de la recta r1 a partir de sus ecuaciones paramétricas:
Hacemos lo mismo con la ecuación de la recta r2:
Siendo las coordenadas de un punto genérico de la recta r2:
Obtenemos el vector formado por los puntos P1 y P2:
Operamos:
La recta que se apoya sobre r1 y r2, pasa por el punto P1 y su vector de dirección es el vector formado por los puntos genéricos P1 y P2:
Su ecuación continua queda de la siguiente forma:
Ésta es la ecuación de la recta que se apoya sobre las rectas dadas r1 y r2, que queda en función de los parámetros t y s.
Una vez tenemos la ecuación de la recta que se apoya en r1 y r2, vamos a obtener la ecuación de la recta que se apoya en r1 y r2 y que además es paralela a la recta s:
Cuyo vector de dirección es:
Para que la recta que corta a r1 y r2 sea paralela a la recta s, el vector director de la recta P1P2, debe ser proporcional al vector de dirección de la recta s:
Dividimos las componentes de cada uno de los vectores e igualamos los cocientes:
Vamos a obtener los valores de t y s que hacen que se cumpla esta ecuación.
Igualamos dos a dos los miembros de la ecuación, resultando el siguiente sistema de ecuaciones:
Vamos a simplificar sus ecuaciones.
Simplificamos la primera ecuación:
Multiplicamos en cruz:
Y operamos:
Simplificamos la segunda ecuación:
Eliminamos denominadores:
Agrupamos términos semejantes y operamos:
Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
Cuya solución es:
Por último, en la ecuación de la recta que se apoya en las rectas r1 y r2, expresada en función de los parámetros t y s:
Sustituimos t y s por sus valores:
Y operamos:
Multiplicamos las componentes del vector de dirección (denominadores de la ecuación) por 4/3 para obtener números enteros en este vector, aunque este paso ya no sería necesario realizarlo:
Obteniendo así la ecuación de la recta que se apoya en r1 y r2 y es paralela a la recta s.
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