Rectas en el sistema diédrico: Cómo representarlas. Trazas de una recta

A continuación vamos a ver cómo representar rectas en diédrico. Además, explicaré qué son las trazas de una recta y cómo hallarlas y aprenderás a identificar en qué cuadrante se encuentra la recta.

¡Empezamos!

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Cómo representar una recta en diédrico

Al igual que los puntos (y que cualquier otro elemento), la recta se representa en diédrico mediante sus proyecciones cilíndricas ortogonales, solo que en este caso, necesitamos apoyarnos en una referencia para asegurar que la recta está ubicada correctamente. Esta referencia se trata de dos puntos por los cuales pase la recta.

Si sabes representar puntos en el sistema diédrico, entonces sabrás cómo representar también una recta, ya que se sabe que por dos puntos sólo pasa una recta.

Teniendo las proyecciones de dos puntos, la recta queda determinada al unir dos a dos las proyecciones horizontales y verticales de los puntos, obteniendo así la proyección horizontal y vertical de la recta.

Vamos a ver cómo  dibujar una recta en diédrico paso a paso:

Tengo dos puntos, tales como A y B:

Obtenemos sus proyecciones a los planos de proyección:

En el sistema diédrico quedarían representados de la siguiente manera:

Hasta aquí, solo hemos representado dos puntos.

Como he comentado antes, una recta pasa por dos puntos, así que vamos a dibujar la recta uniendo los puntos A y B. Empezamos dibujando la recta en el espacio:

Sus proyecciones en los planos de proyección se obtienen uniendo por las proyecciones horizontales y verticales de los puntos:

Por lo que la recta quedaría representada en el sistema diédrico de la siguiente forma:

Por tanto, para dibujar una recta en diédrico necesitamos ubicar dos puntos primero y una vez los tenemos, sólo tenemos que unir sus proyecciones dos a dos.

A la proyección de la recta en el plano vertical la llamamos r» y a la proyección en el plano horizontal r’.

Puntos contenidos en rectas en diédrico

¿Cómo sabemos si un punto está contenido en una recta en el sistema diédrico?

Un punto está contenido en una recta cuando las proyecciones del punto están contenidas en las proyecciones de la recta.

Por ejemplo, tenemos la recta r en el espacio:

Cuya representación en el sistema diédrico es:

Añadimos ahora el punto C:

¿Pertenece el punto C a la recta r?

La respuesta es que sí, ya que las proyecciones del punto están contenidas en las proyecciones de la recta.

Si vemos en el espacio el punto C y la recta r, tendríamos lo siguiente:

que como puedes observar, la recta también pasa por el punto C.

Si ambas proyecciones del punto no están contenidas dentro de la recta, el punto no pertenece a la recta.

Por ejemplo, en este caso, el punto D no pertenece a la recta, ya que aunque la proyección horizontal sí que está contenida en la recta, la proyección vertical no lo está:

Si lo vemos en el espacio, el punto D se encuentra por encima de la recta r:

Debes tener cuidado con que el punto y la recta pertenezcan al mismo cuadrante. La recta r pertenece al primer cuadrante, ya que pasa por los puntos A y B y ambos puntos pertenecen al primer cuadrante, al tener la proyección vertical por encima de la línea de tierra y la proyección horizontal por debajo.

Entonces, ¿pertenece el punto E a la recta r?

Vemos que aunque posicionalmente las proyecciones del punto están contenidas dentro de la recta, el punto E no pertenece al punto, ya que sus proyecciones están a la inversa, es decir, su proyección horizontal está por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal está por debajo.

El punto E realmente pertenece al cuarto cuadrante y sus proyecciones coinciden virtualmente con las de la recta, pero físicamente no pertenecen a ella.

Trazas de una recta en diédrico

Vamos a ver ahora qué son las trazas de una recta en el sistema diédrico.

Las trazas de una recta son las intersecciones de la recta con los planos de proyección. Podemos tener la traza vertical V, que es el punto donde la recta corta al plano de proyección vertical y la traza horizontal H, que es el punto donde la recta corta al plano de proyección horizontal:

Las trazas de una recta son en realidad puntos y como tal, cada una de ellas tienen también sus proyecciones horizontal y vertical.

Vamos a ver cada traza de la recta con detenimiento.

Traza vertical

Tenemos la siguiente recta en el espacio que corta a los planos de proyección vertical y horizontal:

La traza vertical V es la intersección de la recta con el plano vertical, cuya proyección vertical V» coincide con el mismo punto V:

La proyección horizontal de la traza vertical, V’, la hallamos trazando una línea vertical hasta cortar a la línea de tierra. La proyección horizontal V’ se encuentra en la línea de tierra y por tanto, su alejamiento es igual a cero:

Traza horizontal

La traza horizontal H es la intersección de la recta con el plano horizontal, cuya proyección vertical H’ coincide con el mismo punto H:

La proyección vertical de la traza horizontal, H», la hallamos trazando una línea horizontal hasta cortar a la línea de tierra. La proyección vertical H» se encuentra en la línea de tierra y por tanto, su cota es igual a cero.

Uniendo dos a dos las proyecciones horizontales y verticales de las trazas, se obtienen las proyecciones de la recta en los planos de proyección:

Cómo hallar las trazas de una recta paso a paso

Ya hemos visto qué son las trazas de una recta y cómo obtener las proyecciones de las trazas, pero ¿cómo hallar las trazas de la recta teniendo la recta representada en el sistema diédrico?

Vamos a verlo paso a paso.

Tenemos la siguiente recta representada en diédrico:

En primer lugar prolongamos tanto la proyección vertical como la proyección horizontal hasta que corten a la línea de tierra:

El punto donde la proyección vertical de la recta r» corta a la línea de tierra será la proyección vertical de la traza horizontal H».

El punto donde la proyección horizontal de la recta r’ corta a la línea de tierra será la proyección horizontal de la traza vertical V’:

 

Una vez tenemos V’ y H» contenidas en la línea de tierra, desde V’ trazamos una línea vertical hacia la parte superior de la línea de tierra y donde esta línea vertical corte con la recta, será la proyección vertical de la traza vertical V».

Desde H» trazamos una línea vertical hacia la parte inferior de la línea de tierra y donde esta línea vertical corte con la recta, será la proyección horizontal de la traza horizontal H’.

Ya tenemos las proyecciones de las trazas de la recta definidas, pero la representación de la recta no es correcta, ya que solo debe representarse en línea continua la parte de la recta que se encuentra en el primer cuadrante. Las otras partes de la recta se representan con línea discontinua.

Lo vemos en el siguiente apartado

Representación de la recta según el cuadrante en el sistema diédrico

Vamos a explicar cómo representar una recta en diédrico según los cuadrantes que ocupe y lo haremos con un ejemplo.

Tenemos la siguiente recta, que pasa por el 1º, el 2º y el 4º cuadrante:

¿Cómo sabemos cuando una recta cambia de cuadrante?

Como hemos comentado antes, las trazas de la recta son los puntos donde la recta interseca con los planos de proyección, por lo que las trazas marcan el cambio de cuadrante de la recta.

Por tanto, si trazamos dos líneas verticales que pasan por los rayos de proyección de las trazas, tendremos los límites de los cuadrantes.

El espacio que queda a la izquierda de la traza vertical corresponde al 2º cuadrante, el espacio comprendido entre ambas líneas verticales, es decir, entre ambas trazas, corresponde al 1º cuadrante y el espacio que se encuentra a la derecha de la traza horizontal corresponde al 4º cuadrante:

Por tanto, solo en el primer cuadrante la recta queda representada en línea continua. En el resto de cuadrantes se representa con línea discontinua.

Otra forma de ver y demostrar que la recta pasa por el 2º y el 4º cuadrante es que si queremos dibujar puntos que pertenezcan a la recta y se encuentren en estos cuadrantes, vemos como en el 2º cuadrante las proyecciones del punto P están ambas por encima de la línea de tierra, es decir, es un punto del 2º cuadrante y en el 4º cuadrante, ambas proyecciones del punto Q se encuentran por debajo de la línea de tierra, por lo que el punto pertenece al 4º cuadrante:

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