A continuación a ver qué son y cómo se representan los ángulos mayores de 360º. Además te explicaré como reducir los ángulos a la primera vuelta y cómo reducir un ángulo al primer cuadrante. Todo ello con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Qué son y cómo se representan los ángulos mayores de 360º
Como ya sabes, una vuelta completa de una circunferencia tiene 360º:
Entonces, ¿qué pasa con los ángulos mayores de 360º? ¿cómo se representan los ángulos mayores de 360º?
Los ángulos mayores de 360º son los que miden más de una vuelta en una circunferencia. Así que un ángulo mayor de 360º estará formado por una o más vueltas más un ángulo comprendido en la primera vuelta (menor que 360º), es decir, entre 0º y 360º.
Por ejemplo, el ángulo 390º será igual a 1 vuelta, que equivale a 360º, más el ángulo de 30º:
Vamos a verlo gráficamente para que quede más claro el concepto.
Si representamos el ángulo de 30º nos queda de la siguiente forma, donde el punto P, ha girado en el sentido contrario a las agujas del reloj desde 0º, que está en la horizontal, hasta alcanzar 30º:
Para representar el ángulo de 390º, el punto P giraría en sentido contrario a las agujas del reloj una vuelta completa (360º) y una vez completada la vuelta, otros 30º, quedando de la siguiente forma:
Así que, para representar ángulos mayores de 360º, tenemos que dar tantas vueltas como sea necesaria y luego representar el ángulo que nos quede menor que 360º.
Qué son los ángulos equivalentes
Como ves, en ambos casos el punto P se encuentra en la misma posición tanto en 30º como en 390º, por lo que cuando ocurre esto se dice que los ángulos 30º y 390º son equivalentes, porque entre ellos hay una vuelta completa de diferencia y se expresa con el símbolo de aproximadamente:
De esta forma, el ángulo 750º también sería equivalente a 30º, porque 750º es igual a 2 vueltas más 30º y por tanto, entre los dos ángulos hay 2 vueltas de diferencia:
En general, dos ángulos son equivalentes cuando entre ellos hay un determinado número entero de vueltas de diferencia, es decir, un ángulo α más un número de vueltas determinado (expresado como 360º.k), es equivalente al ángulo α
donde k es el número de vueltas y es un número entero (puede ser tanto positivo como negativo).
Los ángulos equivalentes son importantes porque sus razones trigonométricas coinciden, lo que permite obtener el valor de las razones trigonométricas de ángulos mayores que 360º obteniendo su ángulo equivalente de la primera vuelta
¿Cómo saber qué numero de vueltas completas tiene un ángulo mayor de 360º y por tanto a qué ángulo equivale de la primer vuelta?
Es lo que veremos en el siguiente apartado.
Reducción de un ángulo a la primera vuelta
Cuando queremos calcular el ángulo equivalente de un ángulo mayor de 360º, se conoce como reducción de un ángulo a la primera vuelta.
Lo que haremos es calcular el número de vueltas que tiene y qué ángulo queda menor de 360º.
Eso lo conseguimos dividiendo el ángulo mayor de 360º (expresado como α+360º.k) entre 360º (que son los grados que tiene una vuelta):
El cociente será igual al número de vueltas y el resto será igual al ángulo equivalente de la primera vuelta:
De esta forma, al ángulo mayor de 360º sería equivalente al resto α
Vamos a ver un ejemplo para que quede más claro.
Vamos a reducir el ángulo 4470º a la primera vuelta, es decir, vamos a calcular su ángulo equivalente.
Para ello, dividimos 4470º entre 360º:
Date cuenta, que en la división de ángulos, no podemos tachar los ceros que son comunes al dividendo y al divisor, tal y como haríamos en una división normal, ya que aunque obtendríamos al mismo cociente, el resto sería distinto.
Nos queda un cociente de 12 y un resto de 150, lo que quiere decir que el ángulo de 4470º es igual a 12 vueltas más un ángulo de 150º:
y por tanto 4470º es equivalente a 150º.
En los ejercicios resueltos tienes más ejemplos para seguir practicando la reducción de ángulos mayores de 360º a a la primera vuelta.
Reducir un ángulo al primer cuadrante
Anteriormente hemos comentado, que las razones trigonométricas de ángulos equivalentes coinciden, ya que el objetivo de reducir un ángulo a la primera vuelta es poder calcular sus razones trigonométricas más fácilmente.
Además, podemos expresar sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, que es lo que se llama reducir un ángulo al primer cuadrante, con el fin de que si el ángulo del primer cuadrante es conocido, podemos calcular las razones trigonométricas incluso sin calculadora.
¿Y cómo conseguimos esto?
Primero tenemos que reducir el ángulo a la primera vuelta y después utilizar las relaciones entre las razones de ángulos de distintos cuadrantes para expresar sus razones trigonométricas en función de las de un ángulo del primer cuadrante que tenga el mismo valor:
- Si el ángulo equivalente pertenece al segundo cuadrante, utilizaremos la relación entre razones de ángulos suplementarios
- Si el ángulo equivalente pertenece al tercer cuadrante, utilizaremos la relación entre razones de ángulos que se diferencian en 180º
- Si el ángulo equivalente pertenece al cuarto cuadrante, utilizaremos la relación entre razones de ángulos opuestos
Vamos a ver un ejemplo para que te quede más claro:
Reducir el ángulo 1020º al primer cuadrante:
Primero reducimos el ángulo a la primera vuelta dividiéndolo entre 360º:
Nos queda que 1020º es igual a 2 vueltas completas más un ángulo de 300º:
Por tanto, el ángulo 1020º es equivalente a 300º y por tanto sus razones son iguales:
El ángulo 300º cae en el cuarto cuadrante, por lo que su ángulo opuesto caerá en el primer cuadrante, que es 60º:
Y podemos relacionar las razones trigonométricas de 300º y de 60º gracias a la relación entre razones de ángulos opuestos.
El valor de los senos tiene signo contrario:
El valor de los cosenos es igual:
Y las tangentes también tienen signo contrario:
Ejercicios resueltos sobre ángulos mayores de 360º
Ejercicio 1
Reduce a la primera vuelta los siguientes ángulos:
a) 1930º
b) 5350º
c) 375º
d) 999º
Apartado a:
Dividimos 1930º entre 360º:
Nos queda que el cociente es igual a 5 y el resto es 130, por lo que 1930º es igual a 5 vueltas más 130º:
Y por tanto el ángulo 1930º es equivalente a 130º:
Apartado b:
El cociente es igual a 14 y el resto es 310, por lo que 5350º es igual a 14 vueltas más 310º:
Así que 5350º es equivalente a 310º:
Apartado c:
El cociente es igual a 1 y el resto es igual a 15, por lo que 375º es igual a 1 vuelta más 15º:
Y 375º es equivalente a 15º:
Apartado d:
El cociente es igual a 2 y el resto es 279, por lo que 999º es igual a 2 vueltas más 279º:
Así que 999º es equivalente a 279º:
Ejercicio 2
Calcula sin hacer uso de la calculadora las siguientes razones trigonométricas:
a) sen 1575º
b) cos 2370º
c) tg 3210º
Apartado a:
Primero reducimos el ángulo a la primera vuelta dividiendo entre 360º:
Nos da como resultado que 1575º es igual a 4 vueltas más un ángulo de 135º:
Así que el 1575º es equivalente a 135º:
135º pertenece al segundo cuadrante, por lo que el ángulo que caerá en el primer cuadrante es su suplementario, que es 45º:
Las razones trigonométricas de 45º y 135º están relacionadas por la relación entre ángulos suplementarios, cuyo valor del seno es el mismo:
Así que el seno de 1575º tiene el mismo valor que el seno de 45º.
Apartado b:
Reducimos 2370º a la primera vuelta:
El ángulo 2370º es igual a 210º grados más 6 vueltas completas:
2370º es equivalente a 210º y sus razones trigonométricas son iguales:
210º está en el tercer cuadrante. El ángulo que caerá en el primer cuadrante será el que difiera con 210º en 180º, es decir, 30º:
Podemos relacionar las razones trigonométricas de 30º y de 210º gracias a la relación entre razones de ángulos que se diferencian en 180º, cuyos cosenos tienen signo contrario:
Apartado c:
Reducimos a la primera vuelta:
3210º es igual a 330º y a 8 vueltas completas:
3210º y 330º son equivalentes:
El ángulo 330º cae en el cuarto cuadrante, por lo que su ángulo opuesto caerá en el primer cuadrante, que es 30º:
Las razones trigonométricas de 30º y de 330º están relacionadas por la relación entre razones de ángulos opuestos, cuyas tangentes tienen signo contrario:
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