Regla de L’hôpital. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación voy a explicarte cómo resolver límites con la regla de L’Hôpital. Veremos en qué casos se utiliza y cómo aplicarla con ejercicios resueltos paso a paso.

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Cuándo se usa la regla de L’Hôpital

La regla de L’Hôpital se usa directamente para resolver las indeterminaciones cero entre cero e infinito entre infinito:

ejercicios de l'hopital

Utilizamos esta regla cuando no es posible resolver los límites con otros métodos o para simplificar los cálculos.

Indirectamente podemos utilizar la regla de L’Hôpital con estos tipos de indeterminaciones: infinito menos infinito, cero por infinito, cero elevado a cero, uno elevado a infinito e infinito elevado a cero, ya que durante su método de resolución se reducen a las dos indeterminaciones anteriores (cero entre cero e infinito entre infinito):

regla de l'hopital ejercicios resueltos

Nos vamos a centrar sólo en resolver límites con indeterminaciones cero entre cero e infinito entre infinito para resolverlas mediante la regla de L’Hôpital.

En qué consiste la regla de L’Hôpital

La regla de L’Hôpital consiste en que si tenemos el límite de una función racional, donde tanto el numerador como el denominador son funciones, es decir, funciones que tengan esta forma:

l'hopital ejercicios

ejercicios l'hopital

podemos derivar la función del numerador por un lado y el denominador por otro, con lo que eliminaremos la indeterminación y obtendremos una nueva función racional, cuyo límite será igual al límite de la función original:

l'hopital ejercicios resueltos

Es decir, para aplicar la regla de L’Hôpital, tan sólo tenemos que derivar en el numerador y en el denominador hasta que al sustituir por el número al que tiende el límite, tengamos una solución finita.

Mucho cuidado, ya que la función del numerador y la función del denominador se derivan como si fueran funciones independientes la una de la otra. No es correcto derivar la función como una división de funciones.

Si necesitas repasar cómo derivar, lo tienes explicado en el Curso de Derivadas.

Vamos a verlo con unos cuantos ejercicios resueltos para que te quede todo más claro.

Ejercicios resueltos de límites por la regla de L’Hôpital

Vamos a resolver límites de funciones con la regla de L’Hôpital paso a paso para que aprendas cómo es el procedimiento.

Ejercicio 1

regla l'hopital ejercicios resueltos

Empezamos como cualquier límite, sustituyendo la x por el 0 y llegamos a la indeterminación cero entre cero:

ejercicios regla de l'hopital

Aplicamos L’Hôpital, derivando en el numerador por un lado y derivando en el denominador por otro y nos queda:

regla de l'hopital

Volvemos a sustituir la x por el cero y obtenemos la solución final:

ejercicios resueltos de l'hopital

Ejercicio 2

regla de l'hopital ejercicios

Sustituimos la x por infinito y llegamos a la indeterminación infinito entre infinito:

ejercicios resueltos l'hopital

Lo podríamos resolver por el método para resolver límites con la indeterminación infinito entre infinito, pero lo vamos a resolver aplicando L’Hôpital. Para ello, derivamos las funciones que tenemos en el numerador y en el denominador:

regla de hopital ejercicios resueltos

Volvemos a sustituir la x por infinito y nos vuelve a queda la indeterminación infinito entre infinito:

ejercicios l'hopital resueltos

Volvemos a aplicar la regla de L’Hôpital y derivamos el numerador y el denominador:

ejercicios de l'hopital resueltos

Ahora las x han desaparecido, por lo que directamente el resultado es la función del límite, que pasamos a simplificar:

regla de l'hopital ejercicios resueltos paso a paso

Como ves, no siempre tenemos el resultado del límite aplicando una vez la regla de L’Hôpital. Hay aplicarla y sustituir la x por el número al que tiende hasta que desaparezca la indeterminación.

Ejercicio 3

ejercicios de la regla de l'hopital

Empezamos sustituyendo la x por el cero y llegamos a la indeterminación cero entre cero:

teorema de l'hopital ejercicios resueltos

Aplicamos la regla de L’Hôpital. Para ello, derivamos el numerador y derivamos el denominador:

regla de hospital ejercicios resueltos

Operamos en el numerador y desaparece el coseno de x:

regla de l'hopital ejemplos

Ahora, seguimos operando, ya que podemos eliminar una x del numerador y del denominador:

limites l'hopital resueltos

Volvemos a sustituir la x por el cero y nos vuelve a quedar la indeterminación cero entre cero:

regla de hopital

Aplicamos otra vez la regla de L’Hôpital:

limites por l'hopital resueltos

Sustituimos la x por el cero y esta vez sí que llegamos a la solución:

ejercicios de lhopital

Hay veces que no queda más remedio que utilizar la regla de L’Hôpital para resolver límites con estos tipos de indeterminaciones y otras podrás elegir el método. Puede que simplifiques los cálculos o puede que el tiempo en desarrollar los cálculos sea similar. En cualquier caso, si puedes elegir el método, elige aquel con el que te sientas más cómodo.

Te dejo ahora que practiques con los siguientes ejercicios propuestos.

Ejercicios propuestos

Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital:

l'hopital ejemplos

Si quieres aprender a resolver todos los límites sin dudar ni un momento, te recomiendo el Curso de Límites, en el que tienes lecciones explicadas desde el principio paso a paso, con muchos ejercicios resueltos y propuestos para practicar.

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