Regla de L’hôpital. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación voy a explicarte cómo resolver límites con la regla de L’Hôpital. Veremos en qué casos se utiliza y cómo aplicarla con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Vamos a allá!

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Cuándo se usa la regla de L’Hôpital

La regla de L’Hôpital se usa directamente para resolver las indeterminaciones cero entre cero e infinito entre infinito:

Utilizamos esta regla cuando no es posible resolver los límites con otros métodos o para simplificar los cálculos.

Indirectamente podemos utilizar la regla de L’Hôpital con estos tipos de indeterminaciones: infinito menos infinito, cero por infinito, cero elevado a cero, uno elevado a infinito e infinito elevado a cero, ya que durante su método de resolución se reducen a las dos indeterminaciones anteriores (cero entre cero e infinito entre infinito):

Nos vamos a centrar sólo en resolver límites con indeterminaciones cero entre cero e infinito entre infinito para resolverlas mediante la regla de L’Hôpital.

En qué consiste la regla de L’Hôpital

La regla de L’Hôpital consiste en que si tenemos el límite de una función racional, donde tanto el numerador como el denominador son funciones, es decir, funciones que tengan esta forma:

podemos derivar la función del numerador por un lado y el denominador por otro, con lo que eliminaremos la indeterminación y obtendremos una nueva función racional, cuyo límite será igual al límite de la función original:

Es decir, para aplicar la regla de L’Hôpital, tan sólo tenemos que derivar en el numerador y en el denominador hasta que al sustituir por el número al que tiende el límite, tengamos una solución finita.

Mucho cuidado, ya que la función del numerador y la función del denominador se derivan como si fueran funciones independientes la una de la otra. No es correcto derivar la función como una división de funciones.

Si necesitas repasar cómo derivar, lo tienes explicado en el Curso de Derivadas.

Vamos a verlo con unos cuantos ejercicios resueltos para que te quede todo más claro.

Ejercicios resueltos de límites por la regla de L’Hôpital

Vamos a resolver límites de funciones con la regla de L’Hôpital paso a paso para que aprendas cómo es el procedimiento.

Ejercicio 1

Empezamos como cualquier límite, sustituyendo la x por el 0 y llegamos a la indeterminación cero entre cero:

Aplicamos L’Hôpital, derivando en el numerador por un lado y derivando en el denominador por otro y nos queda:

Volvemos a sustituir la x por el cero y obtenemos la solución final:

Ejercicio 2

Sustituimos la x por infinito y llegamos a la indeterminación infinito entre infinito:

Lo podríamos resolver por el método para resolver límites con la indeterminación infinito entre infinito, pero lo vamos a resolver aplicando L’Hôpital. Para ello, derivamos las funciones que tenemos en el numerador y en el denominador:

Volvemos a sustituir la x por infinito y nos vuelve a queda la indeterminación infinito entre infinito:

Volvemos a aplicar la regla de L’Hôpital y derivamos el numerador y el denominador:

Ahora las x han desaparecido, por lo que directamente el resultado es la función del límite, que pasamos a simplificar:

Como ves, no siempre tenemos el resultado del límite aplicando una vez la regla de L’Hôpital. Hay aplicarla y sustituir la x por el número al que tiende hasta que desaparezca la indeterminación.

Ejercicio 3

Empezamos sustituyendo la x por el cero y llegamos a la indeterminación cero entre cero:

Aplicamos la regla de L’Hôpital. Para ello, derivamos el numerador y derivamos el denominador:

Operamos en el numerador y desaparece el coseno de x:

Ahora, seguimos operando, ya que podemos eliminar una x del numerador y del denominador:

Volvemos a sustituir la x por el cero y nos vuelve a quedar la indeterminación cero entre cero:

Aplicamos otra vez la regla de L’Hôpital:

Sustituimos la x por el cero y esta vez sí que llegamos a la solución:

Hay veces que no queda más remedio que utilizar la regla de L’Hôpital para resolver límites con estos tipos de indeterminaciones y otras podrás elegir el método. Puede que simplifiques los cálculos o puede que el tiempo en desarrollar los cálculos sea similar. En cualquier caso, si puedes elegir el método, elige aquel con el que te sientas más cómodo.

Te dejo ahora que practiques con los siguientes ejercicios propuestos.

Ejercicios propuestos

Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital:

Si quieres aprender a resolver todos los límites sin dudar ni un momento, te recomiendo el Curso de Límites, en el que tienes lecciones explicadas desde el principio paso a paso, con muchos ejercicios resueltos y propuestos para practicar.

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