Resolución de circuitos de corriente alterna mixtos con números complejos

Vamos a ver cómo resolver circuitos de corriente alterna mixtos, es decir, circuitos en los que aparezcan conexiones en serie y paralelo de los diferentes receptores, utilizando números complejos.

Ya que las magnitudes en corriente alterna se pueden representar como vectores, las podemos expresar con números complejos y al hacerlo así, nos permite emplear los mismos procedimientos que para resolver circuitos de corriente continua.

Si has llegado hasta aquí es porque hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de electrotecnia online y es muy probable que también necesites refuerzo en matemáticas. Si después de leer esto, quieres seguir aprendiendo paso a paso, en una plataforma donde tengas todo explicado, con ejercicios resueltos y alguien que te resuelva tus dudas, solo tienes que apuntarte a los Cursos de Electrotecnia Online:

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Sólo tienes que dejarte guiar y verás como vas a aprendiendo poco a poco a resolver tus ejercicios de electrotecnia.

Impedancia de un circuito mixto en números complejos

Vamos a ver cómo expresar impedancias con números complejos.

En el caso de que tengamos una resistencia conectada en serie con una reactancia inductiva (bobina):

cuyo triángulo de impedancias es:

Este triángulo de impedancias tiene mucho que ver con los números complejos, ya que de la misma forma que en una impedancia, la resistencia se representa en el eje horizontal y la reactancia en el eje vertical, en un número complejo en forma binómica, la parte real se representa en el eje horizontal (eje x) y la parte imaginaria en el eje vertical (eje y):

Por tanto, una impedancia se representa con un número complejo, indicando la resistencia en la parte real y la reactancia inductiva en la parte imaginaria, con signo positivo:

Por ejemplo, si tuviéramos una resistencia y una reactancia inductiva con estos valores:

Su representación con números complejos sería:

De la misma forma, si tenemos una resistencia conectada en serie a una reactancia capacitiva (condensador):

cuyo triángulo de impedancias es:

Su expresión en números complejos es:

Es decir, se indica la resistencia en la parte real y la reactancia capacitiva en la parte imaginaria, con signo negativo:

Por ejemplo, si tuviéramos una resistencia y una reactancia capacitiva con estos valores:

Al pasarla a números complejos sería:

Las impedancias se pueden expresar tanto en forma binómica (que es la que hemos visto), como en forma polar.

Para expresar la impedancia en forma polar, obtenemos su módulo  con la fórmula:

y su ángulo de desfase con la siguiente fórmula:

La impedancia en forma polar quedaría así:

Tensión de un circuito mixto en números complejos

Tanto en los circuitos en paralo como en los circuitos mixtos, se toma de referencia la tensión del generador, ya que es común a todos los elementos del circuito. Por tanto la tensión tiene un ángulo de desfase de 0º:

Por tanto, su representación en números complejos en forma polar sería:

Por ejemplo, una tensión de 230 V quedaría representada de la siguiente forma con números complejos en forma polar:

Al tener un ángulo de 0º se trata de un número complejo real puro, es decir, no tiene parte imaginaria y por tanto, su representación en forma binómica coincide con el valor de la tensión.

Cálculo de impedancias en serie y en paralelo

Una vez expresadas las impedancias en forma compleja, en acoplamiento de resistencias en serie y en paralelo en corriente alterna se realiza utilizando las mismas fórmulas que para corriente alterna, pero teniendo en cuenta de que en las operaciones se utilizarán números complejos.

Para las impedancias en serie se utilizará la siguiente fórmula:

Para las impedancias en serie se utilizará la siguiente fórmula:

Potencia de un circuito mixto en números complejos

Una vez calculada la intensidad total del circuito y su ángulo de desfase, la potencia activa se calcula con la siguiente fórmula:

La potencia reactiva, se calcula siempre en valor absoluto, ya que de lo contrario, si el ángulo de desfase de la corriente es negativo, esta potencia resultaría negativa:

Aunque la potencia reactiva quede representada en el sentido negativo del eje vertical, su valor siempre es positivo.

La potencia aparente la calculamos como:

Por otro lado, la potencia de un circuito mixto también se puede expresar con números complejos.

Teniendo en cuenta el triángulo de potencias, la potencia en forma compleja se puede expresar como:

siendo P la parte real de S y Q la parte imaginaria.

Para calcular la potencia aparente, podemos aplicar la siguiente fórmula:

donde I* es el conjugado de I.

Veremos cómo calcular las potencias de un circuito aplicando ambas formas en el ejercicio resuelto de más abajo.

Números complejos aplicados en la resolución de circuitos

Es muy importante que domines completamente los números complejos para poder aplicarlos en la resolución de circuitos. Tienes el Curso de Números Complejos, donde tienes explicado paso a paso todo lo que necesitas saber.

Vamos a ver aquí lo más importante a tener en cuenta para su aplicación en la resolución de circuitos de corriente alterna:

  • Debes conocer la forma binómica y la forma polar de los números complejos
  • Debes saber cómo se representan los números complejos
  • Debes saber pasar de forma binómica a polar y de forma polar a binómica
  • Debes saber operar con números complejos
    • Sólo se pueden sumar y restar números complejos en forma binómica
    • Aunque se puede multiplicar y dividir tanto en forma binómica como en forma polar, es más práctico y sencillo multiplicar y dividir en forma polar.

Ejercicios resueltos de resolución de circuitos mixtos con números complejos

Vamos a resolver un circuito mixto con números complejos aplicando lo explicado. El ejercicio es el siguiente:

Del siguiente circuito, calcular la intensidad por cada rama, la intensidad total, la tensión entre los puntos A y B, las potencias activa, reactiva y aparente y el factor de potencia:

Empezamos expresando la impedancia de la rama superior como un número complejo en forma binómica. Como la inductancia es inductiva, la parte imaginaria es positiva::

Lo pasamos a forma polar también, para tenerlo en esta forma para poder ser utilizado en los cálculos.

Calculamos su módulo:

Y su ángulo de desfase:

Por tanto, Z1 en forma polar es:

Expresamos la impedancia de la rama inferior como un número complejo en forma binómica. Como la inductancia es capacitiva, la parte imaginaria es negativa:

La pasamos a forma polar y nos queda:

Una vez tenemos calculadas las impedancias de ambas ramas, vamos a calcular la impedancia total. Como están conectadas en paralelo, la fórmula a utilizar será la siguiente

Hay varias formas de resolver esta operación. Voy a utilizar las que considero más prácticas.

Sustituimos Z1 y Z2 por sus valores en forma compleja:

En el segundo miembro, sumamos las fracciones reduciendo a común denominador:

En el numerador sumamos la parte real por un lado y la parte imaginaria por otro. En el denominador multiplicamos ambos números complejos:

Sustituimos j² por -1:

Y operamos en el denominador, primero multiplicando el -1 por 450:

y después sumando la parte real:

Multiplicamos en cruz ambos miembros para dejar de tener Zt en el denominador:

Pasamos el número complejo que multiplica a Zt dividiendo al segundo miembro:

Llegados a este punto se pueden tomar dos alternativas para resolver. Te explico las dos y luego tú puedes utilizar con la que más cómodo te sientas.

Alternativa 1: Operar con números complejos en forma binómica

La primera alternativa es operar con los números complejos en forma binómica. Para ello, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

Operamos en el numerador y en el denominador:

Resolvemos los cuadrados del denominador:

Sustituimos j² por -1:

Multiplicamos los términos que tienen el -1:

Operamos en el numerador y en el denominador:

Separamos la fracción en dos fracciones con el mismo denominador, una correspondiente a la parte real y otra a la parte imaginaria:

Dividimos cada una de las fracciones con la calculadora para obtener su resultado en número decimal:

Ya tenemos la impedancia total en forma binómica.

Ahora la pasamos a forma polar para tenerla disponible para utilizarla en los cálculos.

Calculamos su módulo:

Y su ángulo de desfase:

La impedancia total en forma polar es:

Alternativa 2: Operar con números complejos en forma polar

La segunda alternativa es operar con los números complejos en forma polar. Para mí esta alternativa es más práctica, ya que es más sencillo dividir con los números complejos en forma polar.

Partíamos de este punto:

Pasamos ambos números de forma binómica a polar.

Calculo el módulo y el ángulo de desfase del número complejo del numerador:

Y hago lo mismo con el módulo y el ángulo de desfase del número complejo del denominador:

Sustituyo en la fracción los números complejos en forma binómica por su forma polar:

Ahora por un lado divido los módulos y por otro resto los ángulos de desfase:

El resultado no es exactamente igual a la alternativa 1 debido al redondeo, pero debería ser exactamente igual.

Me quedo con este último resultado para seguir con el problema (aunque da igual cuál tomar).

Ahora vamos a calcular la intensidad total, dividiendo la tensión total entre la impedancia total:

Recuerda que tenemos que operar con números complejos.

Como el ángulo de desfase de la tensión es 0º, expresamos la tensión en forma polar y nos queda:

Dividimos entonces la tensión entre la impedancia total, ambos en forma polar:

dividimos los módulos y restamos los ángulos de desfase:

La intensidad total tiene un valor de 9,57 A y su ángulo de desfase con respecto a la tensión es de -8,13º.

Para calcular la intensidad por la rama de arriba dividimos la tensión entre la impedancia de la rama superior:

Sustituimos V y Z1 por sus valores en forma polar:

Y operamos:

Calculamos la intensidad por la rama inferior dividiendo la tensión entre Z2:

Sustituimos valores y operamos:

Si representamos el diagrama vectorial de las intensidades y la tensión, nos queda de la siguiente forma:

donde si te das cuenta, la suma vectorial de I1 e I2 es igual a It.

Ahora vamos a calcular la tensión entre los puntos A y B que es igual a la intensidad que circula por esa rama, que es I1, multiplicado por la reactancia inductiva que está en bornes de esos dos puntos:

La reactancia inductiva, al estar en el eje vertical en sentido positivo, tiene un ángulo de desfase de 90º, por lo que en forma polar se expresa de la siguiente manera:

Sustituimos los valores de I1 y XL  en forma polar, ya que estamos multiplicando:

Por un lado multiplicamos los módulos y por otro sumamos los ángulos de desfase:

El valor de la tensión entre los puntos A y B es de 191,4 V. Este es el valor que nos daría si pusiéramos un voltímetro en la bobina.

Calculamos ahora las potencias del circuito aplicando sus fórmulas.

La potencia activa es:

La potencia reactiva es:

Y la potencia aparente es:

Vamos a calcular ahora las potencias con números complejos para comprobar que el resultado es el mismo y para que sepas también cómo hacerlo con este procedimiento.

La potencia aparente es igual a la tensión multiplicada por el conjugado de la intensidad total.

La tensión, al no tener componente imaginaria, su forma binómica coincide con un número real:

La intensidad total:

La pasamos a su forma binómica:

Y ahora, calculamos su conjugado:

Multiplicamos tensión y el conjugado de la intensidad en forma binómica:

La parte real corresponde a la potencia activa:

Y la parte imaginaria corresponde con la potencia reactiva:

Los resultados no coinciden exactamente con los del procedimiento anterior debido al redondeo.

Finalmente calculamos el factor de potencia:

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