Resolución de límites con indeterminación cero entre cero. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar con varios ejercicios resueltos cómo resolver los límites con indeterminación cero partido por cero.

En cada uno de ellos, aunque se seguirá el mismo procedimiento, verás que cada uno tiene sus matices, por lo que te recomiendo que analices cada uno de ellos detenidamente.

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Empezamos describiendo el procedimiento general para resolver límites con indeterminación 0/0.

Procedimiento para resolver límites con indeterminación cero entre cero

En primer lugar, hay que destacar que no sabemos si el límite será determinado o indeterminado y en el caso de que sea indeterminado, no sabemos de qué indeterminación se tratará.

Por tanto, el primer paso para resolver cualquier límite es sustituir la x por el número al que tienda y ver que resultado obtenemos.

Supongamos que después de sustituir y operar llegamos al resultado 0/0, que es una indeterminación.

A partir de este punto, para resolver las indeterminaciones del tipo cero entre cero hay que seguir el siguiente procedimiento:

  1. Se descomponen en factores los polinomios del numerador y del denominador.
  2. Sustituimos los polinomios en el límite por su descomposición en factores.
  3. Se eliminan los factores que se repitan en el numerador y en el denominador. De esta forma se elimina la indeterminación
  4. Se vuelve a sustituir la x por el número al que tienda, llegando a una solución determinada.

La mayor dificultad de este procedimiento radica en la descomposición de los polinomios en factores, por lo que debes tener muy claro cómo descomponer polinomios, así como dominar los productos notables, cómo sacar factor común, el método de Ruffini…

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Ejercicios resueltos de límites con indeterminación cero entre cero

Vamos a resolver unos cuantos ejemplos paso a paso de límites con indeterminación 0/0 para que puedas aprender a resolverlos.

En esta ocasión, me voy a centrar en el procedimiento de resolución de límite, sin llegar a profundizar demasiado en cada paso, para que tengas sobre todo una visión general.

Vamos con el primer ejemplo:

En primer lugar, sustituimos la x por el 3 para resolver el límite y nos da como resultado la indeterminación cero entre cero:

Por tanto, voy a descomponer en factores los polinomios del numerador y del denominador. El polinomio del numerador se trata de un producto notable, por lo que su descomposición es:

El polinomio del denominador no se puede descomponer, ya que ya es de grado 1 y por tanto, ya está reducido al máximo, por lo que se queda igual.

Sustituyo el polinomio del numerador por su descomposición en factores y queda:

El factor (x-3) está repetido en el numerador y en el denominador por lo que lo puedo eliminar:

Quedando de la siguiente forma:

Una vez hemos eliminado los factores repetidos, la indeterminación también se ha eliminado, por lo que podemos volver a sustituir la x por el 3 y llegar a la solución de límite:

Vamos a resolver otro ejemplo:

Sustituimos la x por el 2 y operamos. Llegamos a la indeterminación 0/0:

En este caso, ambos polinomios son de grado 2, por lo que se pueden descomponer en factores. Los descomponemos y nos queda:

Sustituimos los polinomios por su descomposición en factores:

Y eliminamos los factores que se repiten en el numerador y en el denominador, que en este caso es el factor (x-2):

Al eliminarlo nos queda:

Volvemos a sustituir la x por el 2 y operamos. La indeterminación ha desaparecido y llegamos al resultado final:

Vamos a resolver un último ejemplo:

Sustituimos la x por el 0 y operamos. El resultado es una indeterminación cero entre cero:

Pasamos a descomponer los polinomios en factores. A veces, no es necesario descomponer el polinomio en factores de grado 1 o irreducibles. Lo que pretendemos conseguir al descomponerlos es encontrar un factor que se repita arriba y abajo para eliminarlo y que desaparezca la indeterminación

Por eso, esta vez, vemos que podemos sacar factor común a la x en ambos polinomios:

Y por tanto, es la x el factor que eliminamos en el numerador y en el denominador, por lo que no es necesario seguir descomponiendo el factor de grado 3, que nos ha quedado en el denominador:

Al eliminar la x del numerador y del denominador nos queda:

Que volvemos a sustituir la x por cero y llegamos al resultado final:

Como te comentaba al principio, aunque el procedimiento de resolución es el mismo, cada límite tiene sus detalles y hay que estar preparado con una buena base matemática para poder descomponer cualquier polinomio, ya que es la diferencia entre ellos.

Cómo resolver límites con indeterminación cero entre cero con raíces

Muchas veces, los límites con indeterminación 0/0 tienen raíces y en estos casos no es posible factorizar los polinomios para eliminar el mismo factor del numerador y del denominador.

¿Cómo se resuelve un límite con indeterminación 0/0 que tenga raíces?

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del binomio donde esté la raíz.

Por ejemplo:

Sustituimos la x por el 1 y nos da como resultado la indeterminación cero entre cero:

En este caso, la raíz la tenemos en el denominador, por tanto, de ese binomio será el conjugado por el que tendremos que multiplicar el numerador y el denominador:

En el denominador nos ha quedado una suma por diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:

Y en el numerador, tenemos un factor de grado 2 que es una diferencia de cuadrados, que podemos descomponer como suma por diferencia:

Y de esta forma, el factor (x-1) lo podemos eliminar del numerador y del denominador:

Y nos queda:

Ahora ya podemos sustituir la x por el 1 y llegamos a la solución, ya que hemos eliminado la indeterminación:

Vamos a ver otro ejemplo:

Sustituimos la x por el 3 y llegamos al resultado de cero entre cero:

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del binomio del numerador:

En el numerador nos queda una suma por diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:

En el denominador tenemos el binomio (x²-9), que es una diferencia de cuadrados y podemos ponerlo como una suma por diferencia:

Al tenerlo así, podemos eliminar el factor (x-3):

Y nos queda:

Volvemos a sustituir la x por el 3 y llegamos a la solución del límite:

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