Resolución de límites con indeterminación un número entre cero

Resolución de límites con indeterminación un número entre cero. Ejercicios resueltos.

En esta lección te voy a explicar cómo resolver los límites con indeterminación un número entre cero o indeterminación k/0. Te lo explicaré al mismo tiempo que vamos resolviendo ejercicios, para que sepas todos los pasos al detalle.

Para entender bien los límites con indeterminación número partido por cero, tienes que entender bien cómo funcionan los límites laterales, ya que los utilizaremos para resolver este tipo de indeterminaciones.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Resultado de dividir un número entre cero

¿Cuál es el resultado de dividir un número entre cero?

limite cuando x tiende a 0

Mucha gente piensa que cuando un número se divide entre cero, el resultado es infinito, pero eso eso es un error:

limites cuando x tiende a 0

Para empezar, un número entre cero es una indeterminación, es decir, no tiene solución:

limites que tienden a cero

Ahora bien, otra cosa bien distinta es calcular el límite de una función con indeterminación número entre cero.

El resultado de ese límite puede ser “más infinito”, “menos infinito” o puede no existir. Pero estamos hablando del límite, es decir, del valor al que se aproxima la función cuando x tiene al número. Justo en el punto donde la función vale número entre cero, la función no existe, porque ese valor no existe.

Por tanto, con lo que te tienes que quedar es con que un número entre cero es una indeterminación, pero que el límite con indeterminación número entre cero puede resolverse y puede existir o no, que es lo que veremos en el siguiente apartado.

Cómo resolver los límites con indeterminación número entre cero

Tal y como te he comentado antes el límite con indeterminación número partido por cero, puede tener solución, que siempre será “más infinito” o “menos infinito” o puede que el límite no exista.

que pasa cuando un limite tiende a cero

¿Cómo resolvemos los límites con indeterminación número entre cero?

Se resuelven calculando los límites laterales.

El resultado de los límites laterales puede ser “más infinito” o “menos infinito”. Si el cero es positivo el resultado es “más infinito” y si el cero es negativo el resultado es “menos infinito”:

limite cuando x tiende a 0 ejemplos

limite x tiende a 0

Seguro que te estarás preguntando: ¿Cómo que cero positivo y cero negativo? ¿El cero no está en medio de los números positivos y negativos y por tanto no es ni positivo ni negativo? ¿Cómo es eso?

Te lo explico esto en detalle más abajo, no te preocupes, pero quiero que por ahora te quedes con los resultados que pueden tener los límites laterales.

Siguiendo con la resolución de límites con la indeterminación número entre cero, si tanto el límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden, entonces el límite tendrá solución, que será la solución de los dos límites laterales.

Si los límites laterales no coinciden, entones no existe el límite que estamos calculando.

Ejercicios resueltos de límites con indeterminación número entre cero

Vamos a verlo con unos ejercicios resueltos para que quede más claro.

Ejercicio resuelto 1

Resolver el siguiente límite:

limite tiende a cero

En primer lugar, como con todos los límites, sustituimos la x por el 2 y llegamos al resultado de un número entre cero, que ya sabes que es una indeterminación:

un numero entre cero

Por tanto, tenemos que calcular los límites laterales, es decir, el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha y el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda.

Veremos si el resultado de ambos límites laterales coinciden y existe el límite, o no coinciden y no existe el límite.

Empezamos con el límite cuando x tiende a 2 por la derecha:

indeterminacion k/0

Para calcular el límite cuando x tiende a 2 por la derecha, consideramos que el 2 por la derecha es un valor muy cercano a 2, pero que es un poco mayor que 2. Para que lo veas de forma más concreta, yo le suelo sumar 0,0001:

cero entre un numero

Entonces, sustituimos este nuevo valor en la función:

limites cuando x tiende a cero

En el numerador, nos quedaría que el resultado es un poco mayor que 6, pero sigue siendo un número y no nos importa, por tanto, seguimos poniendo 6.

Sin embargo, la clave está en el denominador. Al sustituir por 2,0001, el resultado ya no es cero, sino que es un valor que está muy cercano a 0, pero es positivo. A ese valor le llamaremos +0 (cero positivo):

limites k/0

El cero positivo es un valor muy cercano a 0, por su derecha, es decir, que es positivo y no llega a ser cero.

Eso quiere decir, que cuando nos aproximamos a 2 por la derecha, estamos dividiendo entre un valor muy cercano a cero, que es positivo,cuyo resultado tiende a “más infinito”, por lo que el resultado del límite ya no es indeterminado, sino que es “más infinito”:

limite 0 sobre numero

Por tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha es igual a más infinito.

Vamos a calcular ahora cuando el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda:

limite de un numero sobre cero

Igual que antes, para calcular el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, esta vez consideramos que el 2 por la izquierda es un valor muy cercano a 2, pero que es un poco menor que 2. En este caso, para verlo de una forma más concreta, yo le suelo restar 0,0001:

limite cuando tiende a cero

Sustituimos el valor de 2 por la izquierda en la función:

limites cuando x tiende a un numero

En el numerador, nos quedaría un resultado un poco menor que 6, pero sigue siendo un número y no nos importa, por tanto, seguimos poniendo 6.

Nos volvemos a fijar en el denominador.

Al sustituir por 1,9999, el resultado es un valor que está muy cercano a 0, pero es negativo. A ese valor le llamaremos -0 (cero negativo):

limites con indeterminacion

El cero negativo es un valor muy cercano a 0, por su izquierda, es decir, que es negativo y no llega a ser cero.

Por lo tanto, cuando nos aproximamos a 2 por la izquierda, estamos dividiendo por un valor muy cercano a cero, que es negativo, cuyo resultado tiende a “menos infinito”, por lo que el resultado del límite ya no es indeterminado, sino que es “menos infinito”:

cuando el limite tiende a 0

El límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda es igual a menos infinito.

En este caso, los límites laterales no coinciden. Por tanto, el límite de la función que estábamos calculando no tiene solución, por lo que no existe el límite:

limite cuando x tiende a un numero

Vamos a ver otro ejemplo, que lo resolveremos más rápidamente.

Ejercicio resuelto 2

Resolver el siguiente límite:

lim x tiende a 0

Para resolver este límite cuando x tiende a 0, como en cualquier otro límite, sustituimos la x por 0 y llegamos a la indetermninación número entre cero:

limite de x cuando tiende a 0

Tenemos que calcular por tanto los límites laterales.

Empezamos por el límite cuando x tiende a cero por la derecha:

límites cuando x tiende a 0

Consideramos que el cero por la derecha es un valor muy cercano a cero, por lo que es equivalente a sumarle 0,0001:

limite tiende a 0

Sustituimos el valor de cero por la derecha en la función:

limites cuando tiende a 0

En el denominador nos queda un cero positivo:

limites x tiende a 0

Por tanto, cuando dividimos entre un valor muy cercano a cero, por su derecha, el límite es igual a infinito:

ejercicios de limites cuando x tiende a 0

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a cero por la izquierda:

lim cuando x tiende a 0

Consideramos que cero por la izquierda es equivalente a restarle 0,0001:

limites que tienden a 0

Sustituimos el valor de cero por la izquierda en la función:

solucion de limites

En este caso, como la x está elevada al cuadrado, aunque teníamos un número negativo, se vuelve positivo, por lo que el resultado del denominador también es un cero positivo:

cuando x tiende a 0

Y el límite de la función cuando x tiende a cero por la izquierda también es infinito:

limite de una funcion cuando x tiende a 0

Ambos límites laterales coinciden, cuyo resultado es infinito, por tanto, existe el límite original que estábamos calculando, cuyo resultado también es infinito:

ejemplos de limites cuando x tiende a 0

¿Necesitas clases de matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies