A continuación vamos a ver cómo calcular el punto simétrico de un punto respecto a una recta en el espacio. Veremos en primer lugar el procedimiento general y después resolveremos un ejercicio paso a paso para aplicar lo aprendido.
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Procedimiento para calcular el simétrico de un punto respecto a una recta en el espacio
Vamos a ver el procedimiento para calcular el simétrico de un punto respecto a una recta en el espacio.
Tenemos un punto A y una recta r y tenemos que calcular su simétrico:
El primer paso es calcular el plano π que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta r. En este caso, el vector normal del plano coincide con el vector director de la recta:
Te recuerdo que en la ecuación general del plano:
El vector normal al plano viene dado por los coeficientes A, B y C, que hay delante de x, «y» y z, respectivamente:
Por tanto, el plano π, perpendicular a la recta r y que pasa por A, queda definido con el punto A y con el vector director de la recta, que es el vector normal del plano.
Una vez hemos calculado este plano, debemos calcular el punto M, que es la intersección de la recta r con el plano π, es decir, es el punto de corte entre la recta y el plano:
El punto M, además de ser la intersección entre la recta y el plano, es el punto medio entre el punto A y su simétrico A’, que es el que queremos calcular:
El punto medio se calcula mediante la siguiente fórmula:
De donde despejamos el punto simétrico A’:
Y como conocemos el punto M y el punto A, sólo tenemos sustituirlos por sus valores y operar.
Ejercicio resuelto sobre el cálculo del simétrico de un punto respecto a una recta en el espacio
Vamos a resolver ahora un ejercicio aplicando el procedimiento anterior paso a paso para que te quede todo más claro.
Halla el punto simétrico del punto A
respecto de la recta:
En primer lugar, vamos a calcular el plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto A.
Para ello, necesitamos el vector normal del plano, que es igual al vector de dirección de la recta.
La recta está en forma contínua, por lo que podemos obtener el punto por donde pasa y su vector de dirección:
Y como te he comentado antes, el vector normal del plano es igual al vector de dirección de la recta:
La ecuación general del plano tiene esta forma:
El vector normal al plano viene dado por los coeficientes A, B y C:
Por tanto, si sustituimos A, B y C por las coordenadas del vector normal en la ecuación de la recta nos queda:
Donde sólo nos queda conocer el valor del coeficiente D.
Vamos a calcular el valor de D. El plano pasa por el punto A:
Luego si sustituimos las coordenadas del punto A, en x, «y» y z de la ecuación del plano, se debe cumplir la igualdad:
Nos queda una ecuación donde podemos despejar el valor de D. Por tanto, operamos:
Y despejamos D:
Por tanto, la ecuación del plano π perpendicular a la recta r y que pasa por el punto A es:
Una vez tenemos la ecuación del plano, vamos a calcular el punto de corte de la recta r y del plano π.
Para ello la recta r que la tenemos en forma continua:
La expresamos en su forma paramétrica:
Las coordenadas de la ecuación paramétrica de la recta conicide con un punto genérico R de la recta, es decir, un punto que pertenece a la recta, pero que depende del parámetro t:
Queremos que el punto R sea el punto de corte de la recta y el plano, por lo que obligamos a que el punto R pertenezca al plano sustituyendo x, «y» y z de la ecuación del plano, por las coordenadas del punto genérico de la recta R. Al hacer esto, estamos calculando el punto donde la recta y el plano tienen el mismo valor, es decir, el punto donde se cortan:
Nos queda una ecuación en función del parámetro t, donde despejaremos su valor. Obtendremos cuánto debe ser el valor t para que la ecuación tenga el mismo valor que el plano.
Eliminamos paréntesis y queda:
Agrupamos valores semejantes:
Y despejamos t:
Ahora, en las coordenadas del punto R:
Sustituimos t por su valor:
Operamos y nos queda:
Ya tenemos las coordenadas del punto R, que es el punto de intersección entre recta y plano. Además, el punto R coincide con las coordenadas del punto medio M:
El punto M, es el punto medio entre el punto A y su simétrico:
De donde despejamos el punto simétrico A’ y nos queda:
Sustituimos el punto M y el punto A por sus coordenadas:
Multiplicamos 2 por las coordenadas de M:
Y finalmente restamos coordenada a coordenada, obteniendo el punto simétrico A’:
Ejercicios propuestos sobre el simétrico de un punto con respecto a una recta en el espacio
Ejercicio 1
Hallar el simétrico del punto A respecto a la recta r:
Tenemos el punto A:
y la recta r:
Cuyo punto por donde pasa y su vector de dirección son:
El vector director de la recta coincide con el vector normal al plano:
Sustituimos los valores de las coordenadas del vector normal en los coeficientes de la ecuación del plano:
El punto A pertenece al plano:
Así que sustituimos las coordenadas del punto A en la ecuación del plano:
Nos queda una ecuación de donde despejamos el valor de D:
Por lo que la ecuación del plano, sustuyendo D por su valor queda:
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, obtenemos las coordenadas de un punto genérico de la recta R:
Este punto R, también pertenece al plano, por lo que podemos sustituir sus coordendas en la ecuación de la recta:
Nos queda una ecuación de donde despejamos el valor de t:
Sustituimos el valor de t en las coordenadas del punto R:
Operamos y nos queda las coordenadas del punto R:
El punto R, además de ser el punto de corte entre recta y plano es el punto medio entre el punto A y su simétrico A’:
La fórmula del punto medio es:
Despejamos el punto simétrico A’:
Sustituimos los puntos M y A por sus coordenadas:
Y finalmente operamos para obtener las coordenadas del punto simétrico A’:
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