Simétrico de un punto respecto a una recta en el plano

A continuación te voy a explicar cómo calcular el simétrico de un punto respecto a una recta en el plano. Te indicaré en primer lugar el procedimiento a seguir y resolveremos un ejercicio aplicando cada uno de los pasos.

¡Empezamos!

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Cómo calcular el simétrico de un punto respecto a una recta en el plano

Vamos a ver en primer lugar cuál es el procedimiento para calcular el simétrico de un punto respecto a una recta en el plano.

Partimos de que tenemos una recta r y un punto P:

Nos piden calcular su simétrico, es es el punto que se encuentra a la misma distancia de la recta r, pero en el lado contrario a la recta, es decir, actuando la recta como eje de simetría:

El paso es calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta r. Este punto también pasará por el punto P’:

Una vez hemos calculado la ecuación de la recta PP’, obtendremos el punto de corte de esta recta con la recta r, al que llamaremos el punto M:

El punto M, además de ser la intersección de las dos rectas es el punto medio entre el punto P y su simétrico P’, que es el que queremos calcular.

Ejercicio resuelto sobre el simétrico de un punto respecto a una recta en el plano

Vamos a ver cómo encontrar el simétrico de un punto respecto a una recta, siguiendo el procedimiento que acabamos de ver.

Por ejemplo:

Halla el simétrico del punto P(3,2) respecto de la recta 2x+y-3=0 y demuestra que la distancia de ambos puntos a la recta es la misma.

Tenemos el siguiente punto y la siguiente recta:

Empezamos calculando la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta r. Para ello, lo primero es obtener la pendiente de la recta r.

Para obtener la pendiente de la recta r, la pasamos a su forma explícita:

Y el número que queda delante de la x corresponde a la pendiente de la recta r:

La ecuación de la recta que estamos buscando es perpendicular a la recta r. La pendiente de la recta perpendicular, que llamaremos m’, la calculamos con la siguiente fórmula:

En esta fórmula, sustituimos el valor de m por la pendiente de la recta r y ya tenemos la pendiente de nuestra recta perpendicular:

Ya sabemos la pendiente de la recta perpendicular y un punto por donde pasa, luego podemos utilizar la ecuación punto pendiente:

Sustituimos m por la pendiente de la recta perpendicular (que es m’) y X0 y Y0 por las coordenadas del punto P:

Vamos a operar en esta ecuación para dejarla en su forma general.

Pasamos el denominador multiplicando al primer miembro para eliminar denominadores:

Y finalmente pasamos todos los términos a un miembro:

Y ya tenemos la ecuación de la recta PP’, que es perpendicular a r y pasa por el punto P.

Ahora tenemos que calcular el punto de corte de la recta r con la recta PP’. Ambas rectas forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Colocamos las ecuaciones de forma que se queden las incógnitas en el primer miembro y los números en el segundo miembro:

Para hallar el punto de corte, lo que debemos hacer es resolver el sistema, que en este caso, lo resolveré por el método de sustitución.

De la primera ecuación:

Despejo «y»:

En la segunda ecuación:

Sustituyo «y» por la expresión obtenida anteriormente:

Elimino paréntesis multiplicando el -2 por los términos que están contenidos en él:

Opero y reordeno términos:

Y finalmente despejo x:

En la expresión donde despejamos «y»:

Sustituyo x por su valor y opero, obteniendo el valor de «y»:

x e «y» corresponden a las coordenadas del punto de corte M:

Como te comenté antes, el punto de corte M corresponde también al punto medio entre P y P’. Por tanto si sabemos P y M, podemos calcular P’.

Vamos a recordar cómo calcular las coordenadas del punto medio. Tenemos dos puntos:

Las coordenadas del punto medio se calcula sumando las coordenadas de cada punto y dividiéndolas entre dos, teniendo en cuenta que se suman las coordenadas x por un lado y las coordenadas «y» por otro:

En nuestro caso, tenemos el punto P y el punto P’, cuyas coordenadas las ponemos como x e «y» ya que aún no las conocemos:

Sumamos las coordenadas de ambos puntos y las dividimos entre 2, solo que ahora, ya conocemos la solución, que son las coordenadas del punto M(1,1):

Por tanto, si igualamos la coordenada x del primer miembro, con la coordenada x del segundo miembro, nos queda una ecuación de donde despejamos el valor de x:

Si hacemos lo mismo con la coordenada «y» de ambos miembros, nos queda otra ecuación de donde despejamos el valor de «y»:

Por tanto, las coordenadas de punto P’, simétrico del punto P respecto de la recta r son:

Ahora vamos a demostrar que ambos puntos están a la misma distancia de la recta r. Te recuerdo, que para calcular la distancia de un punto a una recta, se utiliza la siguiente fórmula:

La distancia del punto P a la recta r es por tanto:

Y la distancia del punto P’ a la recta r es:

Por lo que efectivamente, se encuentran a la misma distancia de la recta.

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