Simplificación de fracciones algebraicas. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te enseñaré cómo se realiza la simplificación de fracciones algebraicas y qué son las fracciones algebraicas equivalentes, dos conceptos que nos serán de mucha ayuda a la hora de realizar operaciones con fracciones algebraicas.

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Qué es una fracción algebraica

Una fracción algebraica es el cociente entre dos polinomios:

Donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.

Por ejemplo:

Valor de una fracción algebraica

El valor de una fracción algebraica es el valor que toma la fracción cuando sustituimos las variables por un número determinado.

Es lo mismo que calcular el valor numérico de los polinomios que forman la fracción y después realizar su cociente.

Vamos a ver un ejemplo: Calcular el valor numérico de la siguiente fracción algebraica para el valor de x que se indica:

Sustituimos la x por el 2 y calculamos:

Qué son las fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.

¿Éstas dos fracciones serán equivalentes?

Vamos a calcular el valor numérico para cada una de ellas.

El valor de x que tenemos que coger debe ser el mismo para los dos y debe ser uno que no dé como resultado un cero en el denominador.

Calcularemos el valor numérico de cada fracción para x=2.

Para la primera fracción algebraica ya lo calculamos en el apartado anterior:

Calculamos el valor numérico de la segunda fracción algebraica para x=2:

Ambos valores son iguales, por lo que las fracciones algebraicas son equivalentes:

En general, dos fracciones algebraicas:

son equivalentes si la multiplicación del numerador de una por el denominador de la otra también son iguales (multiplicación en cruz):

Y por tanto, las fracciones algebraicas también serán iguales:

De esta forma, no es necesario calcular el valor numérico de las fracciones. Vamos a comprobarlo con las mismas dos fracciones algebraicas del ejemplo anterior:

Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda:

Operamos y el resultado es:

Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda:

Cuyo resultado es:

En ambos casos hemos obtenido el mismo polinomio, por lo que las fracciones son equivalentes:

Por otro lado, si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción algebraica por el mismo polinomio, la fracción algebraica resultante es una fracción equivalente a la anterior.

Por ejemplo, tenemos esta fracción algebraica:

Y multiplicaremos numerador y denominador por (x-3)

Tenemos como resultado otra fracción. Vamos a comprobar si realmente son equivalentes:

Multiplicamos en cruz:

Y vemos que ambas multiplicaciones dan como resultado el mismo polinomio, por tanto, son equivalentes.

Cómo simplificar fracciones algebraicas

Vamos a ver ahora cómo realizar la simplificación de fracciones algebraicas.

De la misma forma  que si multiplicas una fracción algebraica por el mismo polinomio el numerador y el denominador obtienes otra fracción algebraica equivalente, si dividimos entre el mismo polinomio, obtendremos otra fracción algebraica equivalente, cuyos polinomios tendrán un grado menos y por tanto la habremos simplificado.

Dividir el numerador y el denominador entre el mismo polinomio, equivale a eliminar el mismo polinomio del numerador y del denominador, que estará en forma de factor.

Al mismo tiempo, eliminar el mismo polinomio del numerador y del denominador equivale a multiplicar por 1.

Para simplificar una fracción algebraica, previamente debemos descomponer los polinomios del numerador y del denominador. El factor o los factores que se repitan arriba y abajo, son los que podremos eliminar.

Por ejemplo: Simplificar la siguiente fracción algebraica:

Descomponemos el numerador y el denominador:

Vemos que el factor (x+1), está repetido arriba y abajo, por lo que lo podemos eliminar y queda:

Que es una fracción cuyos polinomios son de menor grado que la original y es equivalente a la misma.

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