Sistemas de dos ecuaciones: Clasificación y número de soluciones

Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, en general tienen una única solución, pero no siempre ocurre así. Hay veces que el sistema de dos ecuaciones no tiene solución y otras tiene infinitas soluciones.

¿Por qué ocurre ésto? Vamos a verlo más despacio

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Qué son los sistemas de dos ecuaciones

En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas como por ejemplo éste:

sistemas de dos ecuaciones

Cada ecuación corresponde a una recta.

Cuando resuelves un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que realmente estás haciendo es encontrando el punto de corte de las dos rectas, si lo tuviera, porque a vece no se cortan (más abajo veremos que a veces no se cortan)

La ecuación de una recta tiene esta forma:

sistemas de dos ecuaciones

Puedes poner cada de las ecuaciones del sistema de esa forma

Primera ecuación:

sistemas de dos ecuaciones

Segunda ecuación:

sistemas de dos ecuaciones

Y ves mucho más claro que se trata de dos rectas.

En función de la posición de las dos rectas, o dicho de otra forma, del número de soluciones de los sistemas de dos ecuaciones podemos hablar de sistemas compatibles, sistemas compatibles indeterminados y sistemas incompatibles, que paso a explicarte con más detalle a continuación.

Sistema compatible

Los sistemas compatibles son los sistemas de dos ecuaciones que al resolverlos tienen una solución, es decir, pueden resolverse.

La solución es el punto donde se cortan las dos rectas si las representas gráficamente. Por tanto, las dos rectas del sistema se cortan en un punto.

Vamos a verlo con un ejemplo. Tenemos este sistema de dos ecuaciones:

sistemas de dos ecuaciones

Vamos a resolverlo por el método de sustitución. De la primera ecuación despejo la x:

sistemas de dos ecuaciones

Este valor de x, lo sustituyo en la segunda ecuación:

sistemas de dos ecuaciones

Opero y despejo “y”:

sistemas de dos ecuaciones

Ahora este valor de y, lo sustituyo en la ecuación donde despejé la x:

sistemas de dos ecuaciones

Y obtengo el valor de x:

sistemas de dos ecuaciones

Por lo que la solución del sistema de dos ecuaciones es:

sistemas de dos ecuaciones

O lo que es lo mismo, si representas las dos rectas, su punto de corte es (2,5).

Vamos a representar las dos rectas y verás que el punto donde se cortan es la solución que acabamos de calcular:

sistemas de dos ecuaciones

Los sistemas compatibles tienen una solución, que es el punto donde se cortan las dos rectas

Sistema incompatible

Como te comenté al principio, no siempre los sistemas de dos ecuaciones tienen solución.

Puede que las rectas sean paralelas y nunca lleguen a cortarse. En este caso estamos hablando de un sistema incompatible.

Vamos a verlo con un ejemplo:

sistemas de dos ecuaciones

Si representas las dos rectas de este sistema verás que son paralelas y nunca se corta, por tanto, es un sistema incompatible:

sistemas de dos ecuaciones

Las rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, pero distinta ordenada, es decir, en la fórmula:

sistemas de dos ecuaciones

m es la pendiente

n es la ordenada

Si en el sistema anterior, ponemos las dos rectas de esta forma:

sistemas de dos ecuaciones

Vemos que tienen la misma pendiente, es decir, el número que está delante de la x es igual, pero la ordenada cambia (n es distinto)

¿Cómo saber si un sistema es incompatible sin necesidad de representar las rectas gráficamente?

Vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones para verlo:

sistemas de dos ecuaciones

Sin saber que es un sistema incompatible, empezamos a resolverlo. Despejamos la x en la primera ecuación:

sistemas de dos ecuaciones

Y este valor de x lo sustituyo en la segunda ecuación:

sistemas de dos ecuaciones

Opero y despejo la y:

sistemas de dos ecuaciones

Me queda un número dividido entre cero. Un número no se puede dividir entre cero, por lo tanto el sistema no tiene solución.

Cuando al resolver una de las incógnitas, me queda un número dividido entre cero, el sistema no tiene solución y por tanto es un sistema incompatible.

Los sistemas incompatibles no tienen solución (queda un número dividido entre cero), ya que las rectas son paralelas

Sistema compatible indeterminado

Las dos rectas pueden estar de una tercera forma, además de cortarse en un punto o de ser paralelas. Pueden ser coincidentes, es decir, que una recta esté encima de la otra.

Cuando una recta está encima de otra, en realidad son la misma recta.

En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones, porque recuerda que cuando resolvemos un sistema estamos buscando el punto de corte y en este caso todos sus puntos son comunes.

Para entender esto, tienes que entender el concepto de ecuación equivalente.

Puedes multiplicar o dividir todos los términos de una ecuación por el mismo número y la ecuación resultante sería equivalente a la original. Si la representaras sería la misma recta.

Por ejemplo, esta ecuación:

sistemas de dos ecuaciones

Puedo multiplicar todos sus términos por 2 y la ecuación resultante sería:

sistemas de dos ecuaciones

Y por tanto sería una ecuación equivalente a la original.

Bien, en los sistemas compatibles indeterminados, realmente tenemos dos ecuaciones equivalentes, que equivaldría a tener dos ecuaciones iguales.

Por ejemplo, este sistema de dos ecuaciones:

sistemas de dos ecuaciones

Tiene dos ecuaciones equivalentes. Acabamos de ver que la segunda ecuación es igual a la primera multiplicada por 2.

Si representamos cada recta nos queda:

sistemas de dos ecuaciones

Las rectas son coincidentes, una está encima de la otra, todos sus puntos son comunes y por tanto tienen infinitas soluciones.

Es lo mismo que si resolviéramos un sistema con las dos ecuaciones iguales:

sistemas de dos ecuaciones

¿Cómo saber si un sistema es compatible indeterminado sin tener que representarlo? Vamos a resolver uno para que lo veas:

sistemas de dos ecuaciones

De la primera ecuación despejo la x:

sistemas de dos ecuaciones

Sustituyo este valor de x en la segunda ecuación:

sistemas de dos ecuaciones

Opero y despejo la y:

sistemas de dos ecuaciones

Me queda cero dividido entre cero. Cero entre cero es un número indeterminado, por lo que el el sistema tiene infinitas soluciones.

Cuando al resolver una de las incógnitas, me queda cero dividido entre cero, el sistema no tiene infinitas soluciones y por tanto es un sistema compatible indeterminado.

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