En esta lección te voy a explicar cómo resolver sistemas de ecuaciones con números complejos, con ejercicios resueltos paso a paso.
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Cómo resolver sistemas de ecuaciones con números complejos
Los sistemas de ecuaciones con números complejos se resuelven por el método de reducción, es decir, multiplicando una o ambas ecuaciones por un número, que en este caso, puedes ser un número complejo, con el fin de que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente con signo contrario, para que al sumarlas, una de las dos incógnitas se anule y nos quede sólo una ecuación con una incógnita, que podamos despejar
Vamos a ver paso a paso un ejemplo de cómo resolver un sistema de ecuaciones con números complejos.
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Hay que conseguir que una de las dos incógnitas, z o w, tenga el mismo coeficiente pero con signo contrario en ambas ecuaciones.
Si quisiera hacerlo con las z, tendría que multiplicar la primera ecuación por (2+i) y la segunda por -2, es decir, multiplico la segunda ecuación por el coeficiente que tengo en la primera y viceversa y a una de las dos le cambiamos el signo. Así en las z, ambas ecuaciones quedarían multiplicadas por (-4-i).
En este caso, me conviene que se anulen las w, ya que en la primera ecuación tiene de coeficiente 1. Para que se anulen, multiplico todos los términos de la primera ecuación por -2i, que es el coeficiente de w de la segunda ecuación cambiada de signo:
Opero en cada término en la primera ecuación y nos queda:
Ahora sumo ambas ecuaciones y el resultado es la siguiente ecuación:
Me queda una ecuación con una incógnita que vamos a resolver.
Primero eliminamos el paréntesis del primer miembro multiplicando la z por cada uno de los términos de su interior:
Los términos que tienen incógnita los tenemos todos en el primer miembro. En caso de que tuviéramos algún término con incógnita en el segundo miembro, habría que pasarlo al primer miembro.
Agrupamos términos en ambos miembros, operando por un lado la parte real y por otro la parte imaginaria, tanto de los términos que tienen incógnita como los que no:
Sacamos factor común a la z en el primer miembro:
Y pasamos el coeficiente que multiplica a la z dividiendo al segundo miembro:
Ahora realizamos la división de números complejos en forma binómica que me queda en el segundo miembro multiplicando por el conjugado del denominador:
Hemos obtenido el valor de z.
Ahora, en una de las dos ecuaciones del sistema, por ejemplo en la primera:
Sustituimos z por el valor que acabamos de calcular:
Operamos para eliminar el paréntesis:
Pasamos los términos que no tengan incógnita al segundo miembro:
Y operamos agrupando términos en el segundo miembro, por un lado los términos que tengan parte real y por otro los que tengan parte imaginaria:
Llegando al valor de w.
Por tanto, la solución del sistema es:
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