Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales. Ejercicios resueltos.

Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales. Ejercicios resueltos.

En esta lección vamos a ver qué son los sistemas homogéneos y qué tienen de particular con respecto a otro sistema de ecuaciones lineales. Veremos qué soluciones tiene y resolveremos ejercicios resueltos paso a paso.

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Qué son los sistemas homogéneos

Los sistemas homogéneos son sistemas de ecuaciones lineales  cuyos términos independientes son ceros.

En general, tienen esta forma:

Solución y discusión de sistemas homogéneos

En un sistema homogéneo, el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada es el mismo, ya que todos los elementos de la última columna de la matriz ampliada son ceros, por lo que no varía el rango de la matriz de los coeficientes:

Los sistemas homogéneos siempre son sistemas compatibles (determinado o indeterminado), o lo que es lo mismo, siempre tienen solución.

Si el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada es igual al número de incógnitas, el sistema será compatible determinado:

Cuando el sistema homogéneo es compatible determinado, la solución de todas sus incógnitas es igual a cero:

A esta solución se le llama trivial o impropia.

Por otro lado, si el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada es menor al número de incógnitas, el sistema será compatible indeterminado:

Lo que significa que tendrá infinitas soluciones.

Cuando el sistema tiene infinitas soluciones se dice que el sistema tiene una solución distinta de la trivial.

Cómo resolver un sistema homogéneo

Vamos a ver ahora un ejemplo de cómo resolver un sistema homogéneo paso a paso.

Vamos a resolver el siguiente sistema homogéneo:

La matriz de los coeficientes es:

La matriz ampliada es:

En primer lugar, vamos a determinar de qué tipo es el sistema, lo cual nos ayuda a obtener la solución. Para ello vamos a empezar calculando el rango de estas dos matrices.

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes:

Aplicamos la regla de Sarrus:

Operamos y nos queda:

El determinante es igual a cero, lo que significa que el rango de la matriz de los coeficientes es menor que 3:

Para ver si el rango es igual a 2, tenemos que encontrar una submatriz cuadrada que esté contenida en A, cuyo determinante sea distinto de cero. Probamos con la submatriz cuadrada formada por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 de la matriz de los coeficientes, cuyo determinante es:

Lo resolvemos y queda:

Es distinto de cero, lo que significa que como el orden de al submatriz es 2, el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2:

Como te indiqué anteriormente, en los sistemas de ecuaciones homogéneos, el rango de la matriz ampliada es igual al rango de la matriz de los coeficientes, ya que la columna de ceros:

Por lo tanto, el rango de la matriz ampliada también es igual a 2:

Como los rangos de las matrices es igual a 2, que es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado:

Y por tanto tiene infinitas soluciones, o lo que es lo mismo, una solución distinta de la trivial.

Que el rango de las matrices sea 2, significa que el número de ecuaciones linealmente independientes del sistema es igual a 2, lo que quiere decir, que la tercera ecuación se forma como una combinación lineal de las otras 2 y por tanto, no aporta una nada a la solución.

Para resolver este sistema compatible indeterminado, nos quedamos con las dos ecuaciones que forman la submatriz con determinante distinto de cero que elegimos, teniendo en cuenta que la submatriz que elegimos, pasa a ser la matriz de los coeficientes de este subsistema, o lo que es lo mismo las incógnitas del sistema son las correspondientes a los coeficientes de las columnas 1 y 2, es decir, “x” e “y”.

La “z” se considera como otro término independiente. Por tanto, la solución de las incógnitas quedará en función de z.

Nos queda por tanto un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

El cual es compatible determinado, ya que ahora, tanto el rango de la matriz de los coeficientes como el de la matriz ampliada es igual a 2, que es igual al número de incógnitas.

El rango de la matriz ampliada es:

Que coincide con la submatriz elegida del sistema homogéneo original.

La matriz ampliada es:

Al ser un sistema compatible determinado, lo resolveré utilizando la regla de Cramer.

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

La incógnita “x” es igual al determinante de la matriz asociada a “x”, entre el determinante de la matriz de los coeficientes:

El determinante de la matriz asociada a “x” es:

Obtenemos el valor de “x”:

Por otro lado, la incógnita “y” es igual al determinante de la matriz asociada a “y”, entre el determinante de la matriz de los coeficientes:

La matriz asociada a “y” es:

Y el valor de “y” es igual a:

Ya tenemos la solución de “x” y de “y” en función de z. Ahora volvemos a nuestro sistema homogéneo inicial, que como vimos antes tiene infinitas soluciones.

Así que a la incógnita “z”, que es la única que nos queda por despejar, le asignamos el valor k, o lo que es lo mismo, decimos que “z” puede tomar cualquier valor. En las otras dos incógnitas, sustituimos z, por su valor k.

La solución del sistema homogéno es por tanto:

Que tiene infinitas soluciones en función del valor que tome el parámetro k.

Sistemas homogéneos en función de los valores de un parámetro

Vamos a ver ahora cómo resolver un sistema homogéneo, donde uno de los coeficientes es un parámetro desconocido. La solución y el tipo del sistema dependerá por tanto del valor de ese parámetro.

Por ejemplo:

Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones homogéneo en función de los valores del parámetro t. Resolver el sistema en alguno de los casos en que existan soluciones distintas de la trivial.

La matriz de los coeficientes es:

Cuyo determinante es:

Que lo calculamos mediante la regla de Sarrus:

Operamos y nos queda:

Nos ha quedado una expresión que depende de t. Si esa expresión es igual a cero, el sistema será compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones. Si es distinta de cero, el sistema será compatible determinado y tendrá la solución trivial.

Por tanto, tenemos que estudiar los valores de t que hagan que esa expresión, es decir, el determinante de la matriz de los coeficientes, sea igual a cero.

Para ello, igualamos la expresión a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante:

Cuyas soluciones son:

Para cualquier valor de t que sea distinto de 2 y distinto de -1, el determinante de la matriz de los coeficientes será distinto de cero:

Si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, entonces, tanto el rango de la matriz A como el de la matriz ampliada A*, es igual a 3, que es igual al número de incógnitas, por lo que en ese caso se trata de un sistema compatible determinado:

Y la solución del sistema será la solución trivial:

Ahora vamos a estudiar el sistema para t=2. Vamos a resolver el sistema que queda al sustituir t por 2:

 

La matriz de los coeficientes es:

Cuyo determinante es igual a cero (hemos partido de esa condición):

Tenemos que encontrar una submatriz cuadrada que esté contenida en A, cuyo determinante sea distinto de cero. Probamos con la submatriz cuadrada formada por las filas 1 y 2 y las columnas 2 y 3 de la matriz de los coeficientes, cuyo determinante es:

Que lo resolvemos y queda:

En este caso, la submatriz formada por las filas 1 y 2 y por las columnas 1 y 2 no nos sirve, ya que el determinante de esa submatriz también es igual a cero.

Como el determinante de la submatriz elegida es distinta de cero, el rango de la matriz A es igual a 2:

Y el rango de la matriz ampliada también es igual a 2, ya que los rangos de ambas matrices son iguales:

Como los rangos son iguales a 2 y es menor al número de incógnitas, estamos ante un sistema homogéneo que es compatible indeterminado:

Que tiene una solución distinta de la trivial.

El número de ecuaciones linealmente independientes del sistema es igual a 2 y nos quedamos con las dos ecuaciones que forman la submatriz con determinante distinto de cero que elegimos.

En este caso, como la submatriz que elegimos debe ser la matriz de los coeficientes de este subsistema, las incógnitas del sistema son las correspondientes a los coeficientes de las columnas 2 y 3, es decir, “y” y “z”, considerando “x” como otro término independiente:

El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos queda es:

Que lo resolvemos con la regla de Cramer y la solución quedará en función de “x”:

La incógnita “x”, que es la única que nos queda por despejar, le asignamos el valor k, o lo que es lo mismo, decimos que “x” puede tomar cualquier valor.

En las otras dos incógnitas, sustituimos “x”, por su valor k y la solución del sistema queda:

Que tiene infinitas soluciones en función del valor que tome el parámetro k.

Una vez resuelto el sistema para t=2, hacemos lo mismo para t=-1. Resolvemos el sistema que queda al sustituir t por -1:

La matriz de los coeficientes es:

Tenemos que encontrar una submatriz cuadrada que esté contenida en A, cuyo determinante sea distinto de cero. Probamos con la submatriz cuadrada formada por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 de la matriz de los coeficientes, cuyo determinante es:

Como el determinante de la submatriz elegida es distinta de cero, el rango de la matriz A es igual a 2:

Y el rango de la matriz ampliada también es igual a 2, ya que los rangos de ambas matrices son iguales:

Como los rangos son iguales a 2 y es menor al número de incógnitas, estamos ante un sistema homogéneo que es compatible indeterminado:

Nos quedamos con las dos ecuaciones que forman la submatriz con determinante distinto de cero elegida y las incógnitas del sistema son las correspondientes a los coeficientes de las columnas 1 y 1, es decir, “x” e “y”, considerando “z” como otro término independiente:

Resolvemos el sistema con la regla de Cramer, quedando la solución en función de “z”:

Le asignamos el valor k a la incógnita “z”, que es la única que nos queda por despejar, que es lo mismo que decir que “z” puede tomar cualquier valor.

En las otras dos incógnitas, sustituimos “z”, por su valor k. La solución del sistema queda:

Que tiene infinitas soluciones en función del valor que tome el parámetro k.

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