Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y veremos tambíen los tipos de sistemas que existen, ya que ambos conceptos están estrechamente relacionados.

Cuando vas a resolver un sistema de ecuaciones lineales, la primera pregunta que debes hacerte es: ¿tiene solución?

Si la tiene, ya puedes empezar a resolverlo por el método que quieras, pero si no tiene solución, ya no tendrás que seguir y te habrás ahorrado mucho tiempo.

Te lo voy a ir explicando al mismo tiempo que lo vemos con un ejemplo.

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¿Tiene solución el siguiente sistema de ecuaciones lineales?

solución sistemas de ecuaciones lineales

En primer lugar debemos distinguir entre la matriz de los coeficientes, que llamaremos la matriz A y la matriz ampliada, que llamaremos la matriz A*.

Qué es la matriz de los coeficientes

La matriz de los coeficientes, la matriz A, es la que está formada por los coeficientes que están multiplicando a las incógnitas.

Para el sistema del ejemplo, la matriz A de los coeficientes es:

solución sistemas de ecuaciones lineales

Date cuenta de que las incógnitas están en orden: primero las x, después las y y después las z.

Además, si falta alguna incógnita en alguna ecuación, tendrá como coeficiente un cero.

Qué es la matriz ampliada

La matriz ampliada, la matriz A* se forma añadiéndole una columna a la derecha de la matriz de los coeficientes, cuyos elementos lo formarán los términos que están en el segundo miembro de cada ecuación

La matriz ampliada de nuestro sistema es:

solución sistemas de ecuaciones lineales

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales ¿Cómo saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no?

Vamos a saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no, comparando los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada con el número de incógnitas.

En función del número de soluciones, el sistema será de un tipo u otro.

Si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada y además es igual al número de incógnitas del sistema, entonces el sistema es compatible determinado:

tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema es compatible determinado cuando tiene una única solución. En este caso, puedes resolver el sistema.

Si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, pero no es igual al número de incógnitas del sistema, entonces el sistema es compatible indeterminado:

tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones, por tanto, no puedes seguir resolviendo el sistema.

Si el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada no son iguales, el sistema es incompatible y no tiene solución:

tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicios resuelto sobre si un sistema de tres ecuaciones lineales tiene solución

Vamos a ver si el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo tiene solución.

Calculamos el rango de A. La mayor submatriz es la propia matriz A:

Cuyo determinante es igual a cero, por tanto el rango de A va a ser menor que 3.

Elegimos la submatriz de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y por las filas 1 y 2. Su determinante es:

Es distinto de cero, por lo tanto, el rango de la matriz A es 2:

Ahora vamos a calcular el rango de la matriz ampliada.

La primera submatriz de orden 3 que se puede elegir coincide con la matriz A, que es la formada por las columnas 1, 2 y 3, por tanto ya sabemos que el determinante de esa submatriz es cero.

Seguimos probando con la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4:

Su determinante es cero.

Probamos con la submatriz formada por las columnas 1, 3 y 4:

Su determinante también es cero.

Y sólo nos queda probar con la submatriz formada por las columnas 2, 3 y 4:

Todos los determinantes de las submatrices de orden 3 contenidas en la matriz ampliada son cero, por lo que el rango de la matriz ampliada va a ser menor que 3:

Elegimos una submatriz de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2:

Cuyo determinante sí es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz ampliada es 2

El rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada coincide y es igual a 2, pero es menor que el número de incógnitas, que es igual a 3, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.

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Y por tanto tiene infinitas soluciones y no se puede resolver.

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