Soluciones de un sistema de ecuaciones 3×3. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo saber si un sistema de ecuaciones tiene solución y veremos también los tipos de sistemas de ecuaciones que existen, ya que ambos conceptos están estrechamente relacionados. Todos con ejercicios resueltos paso a paso.

Cuando vas a resolver un sistema de ecuaciones lineales, la primera pregunta que debes hacerte es: ¿tiene solución?

Puede ser que tenga una única solución, que no tenga solución o que tenga infinitas soluciones, dependiendo del tipo de sistema que sea.

Si la tiene, ya puedes empezar a resolverlo por el método que quieras, pero si no tiene solución, ya no tendrás que seguir y te habrás ahorrado mucho tiempo.

Te lo voy a ir explicando al mismo tiempo que lo vemos con un ejemplo.

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Matriz de los coeficientes y matriz ampliada

Para poder determinar el tipo de un sistema de ecuaciones lineales, o lo que es lo mimo, si un sistema de ecuaciones tiene solución, debemos tener claro qué es la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.

Vamos a verlo en el siguiente sistema:

sistema de ecuaciones 3x3 ejercicios resueltos paso a paso

En primer lugar debemos distinguir entre la matriz de los coeficientes, que llamaremos la matriz A y la matriz ampliada, que llamaremos la matriz A*.

Qué es la matriz de los coeficientes

La matriz de los coeficientes, la matriz A, es la que está formada por los coeficientes que están multiplicando a las incógnitas.

Para el sistema del ejemplo, la matriz A de los coeficientes es:

sistema compatible determinado ejercicios resueltos

Date cuenta de que las incógnitas están en orden: primero las x, después las y y después las z.

Además, si falta alguna incógnita en alguna ecuación, tendrá como coeficiente un cero.

Qué es la matriz ampliada

La matriz ampliada, la matriz A* se forma añadiéndole una columna a la derecha de la matriz de los coeficientes, cuyos elementos lo formarán los términos que están en el segundo miembro de cada ecuación

La matriz ampliada de nuestro sistema es:

como saber el numero de soluciones de un sistema de ecuaciones

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

¿Cómo saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no?

Vamos a saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no, comparando los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Fröbenius, que dice así:

Teorema de Rouché-Fröbenius

Un sistema de m ecuaciones lineales con m incógnitas es compatible (tiene solución) si, y solo si, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

En función del número de soluciones, el sistema será de un tipo u otro.

Vamos a verlos.

Sistema compatible determinado

Si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada y además es igual al número de incógnitas del sistema, entonces el sistema es compatible determinado:

como saber si un sistema de ecuaciones tiene solucion unica

Un sistema es compatible determinado cuando tiene una única solución. En este caso, puedes resolver el sistema.

Sistema compatible indeterminado

Si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, pero no es igual al número de incógnitas del sistema, entonces el sistema es compatible indeterminado:

sistema compatible indeterminado ejercicios resueltos

Un sistema es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones, por tanto, no puedes seguir resolviendo el sistema.

Sistema incompatible

Si el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada no son iguales, el sistema es incompatible y no tiene solución:

sistema de ecuaciones ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicios resuelto de sistemas de ecuaciones lineales 3×3

Vamos a ver si el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo tiene solución.

sistema de ecuaciones compatible determinado ejercicios resueltos

Calculamos el rango de A. La mayor submatriz es la propia matriz A:

matrices y sistemas de ecuaciones lineales ejercicios resueltos

Cuyo determinante es igual a cero, por tanto el rango de A va a ser menor que 3.

Elegimos la submatriz de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y por las filas 1 y 2. Su determinante es:

numero de soluciones de un sistema de ecuaciones

Es distinto de cero, por lo tanto, el rango de la matriz A es 2:

como saber si un sistema de ecuaciones no tiene solucion

Ahora vamos a calcular el rango de la matriz ampliada.

La primera submatriz de orden 3 que se puede elegir coincide con la matriz A, que es la formada por las columnas 1, 2 y 3, por tanto ya sabemos que el determinante de esa submatriz es cero.

Seguimos probando con la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4:

sistema de ecuaciones 3x3 ejercicios resueltos

Su determinante es cero.

Probamos con la submatriz formada por las columnas 1, 3 y 4:

como saber si un sistema de ecuaciones tiene solucion

Su determinante también es cero.

Y sólo nos queda probar con la submatriz formada por las columnas 2, 3 y 4:

sistema de ecuaciones ejercicios

Todos los determinantes de las submatrices de orden 3 contenidas en la matriz ampliada son cero, por lo que el rango de la matriz ampliada va a ser menor que 3:

sistema de ecuaciones lineales ejercicios resueltos

Elegimos una submatriz de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2:

numero de soluciones de un sistema

Cuyo determinante sí es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz ampliada es 2

sistemas de ecuaciones resueltos

El rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada coincide y es igual a 2, pero es menor que el número de incógnitas, que es igual a 3, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.

tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Y por tanto tiene infinitas soluciones y no se puede resolver.

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