A continuación vamos a ver qué son las sucesiones recurrentes y cómo calcularlas a partir de su término general, con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Qué es una sucesión recurrente.
Las sucesiones recurrentes son aquellas cuyos términos se obtienen operando con los términos anteriores.
Por ejemplo, tenemos la siguiente sucesión:
Si te das cuenta, cada término se obtiene multiplicando por 2 el término anterior. De esta forma, para calcular el siguiente término, sólo tendríamos que multiplicar el término que ya tenemos por 2, por lo que sería 32 y así sucesivamente.
Veamos otro ejemplo:
En este caso, a partir del tercer término, cada término se obtiene como la suma de los dos términos anteriores. El siguiente término de esta sucesión sería 13, ya que es la suma de los dos anteriores (5+8).
Por cierto, como curiosidad, a esta sucesión se le conoce como la sucesión de Fibonacci.
Existen infinitas sucesiones recurrentes, ya que se pueden realizar infinitas operaciones con los términos de la sucesión para obtener los términos siguientes. Previamente, debes conocer cuáles son esas operaciones.
Términos de una sucesión recurrente
A cada uno de los números que forman una sucesión se le llama término, que se representa por una letra, con un subíndice que indica la posición que ocupa cada termino.
En la sucesión anterior «a sub 1» representa el primer término, «a sub 2» representa el segundo término y así sucesivamente:
De esta forma, para representar un término que ocupa una determinada posición, o posición n, utilizamos el término general:
donde n representa la posición del término.
Por ejemplo, para representar el término 25 de una sucesión, sólo tendríamos que sustituir n por 25:
Cómo calcular una sucesión recurrente a partir del término general
El término general de una sucesión recurrente se expresa en función de los términos anteriores, por lo que es posible calcular los términos de una sucesión recurrente, conocidos los primeros términos y el término general.
Para ello, tenemos que sustituir la n por la posición que queramos calcular y luego sustituir los términos por sus valores y operar.
Vamos a ver un ejemplo.
Nos dan los dos primeros términos de una sucesión:
Y nos dan también el término general de la sucesión recurrente, que viene expresado en función de los términos anteriores.
Debes saber que para obtener la posición anterior a n, le restamos 1 a la posición. De la misma forma que la posición anterior a 3 es 2 (3-1), la posición anterior a n es n-1 y la posición anterior a n-1 es n-2 (n-1-1=n-2).
Vamos a calcular el tercer término de la sucesión. Para ello, sustituimos la n por 3 en el término general:
Y operamos en los subíndices:
Nos queda que el tercer término es igual al segundo término más el primer término.
Como conocemos los valores de esos dos términos, los sustituimos por sus valores y operamos:
Por tanto, el tercer término es igual a 5.
El cuarto término lo calculamos de la misma forma.
Sustituimos n por 4 en el término general y operamos en los subíndices:
Ahora sustituimos el segundo y el tercer término por sus valores y operamos:
Calculamos el quinto término. Sustituimos n por 45 en el término general y operamos en los subíndices:
Sustituimos el tercer y el cuarto término por sus valores y operamos:
Así podríamos ir calculando los siguientes términos.
Por tanto, la sucesión formada nos queda:
Ejercicios resueltos de sucesiones recurrentes
Vamos a resolver un par de ejercicios donde nos dan los primeros términos y el término general y tenemos que calcular los términos de la sucesión recurrente.
Ejercicio 1
Calcular los 5 primeros términos de la sucesión recurrente con dados los primeros dos términos y el término general:
Calculamos el tercer término:
Calculamos el cuarto término:
Calculamos el quinto término:
La sucesión recurrente nos queda:
Ejercicio 2
Calcular los 5 primeros términos de la sucesión recurrente con dados los primeros dos términos y el término general:
Calculamos el tercer término:
Calculamos el cuarto término:
Calculamos el quinto término:
La sucesión recurrente nos queda:
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