Suma y resta de fracciones algebraicas. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a enseñar cómo sumar y restar fracciones algebraicas tanto con el mismo denominador, como con distinto denominador.

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El procedimiento es el mismo que para sumar o restar fracciones numéricas, es decir, necesitamos tener el mismo denominador para sumar y restar fracciones y cuando no lo tenemos, tenemos que reducir las fracciones a denominador común, con la diferencia de que con las fracciones algebraicas, en vez de números, trabajamos con polinomios.

Vamos a verlo paso a paso.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Empezamos con la suma y resta de fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador, como por ejemplo ésta:

suma y resta de fracciones algebraicas ejercicios resueltos

En este caso, se mantiene el denominador y se opera con los numeradores. Podemos dejar una sola fracción con el denominador común y con los términos de ambos numeradores:

suma y resta de fracciones algebraicas con diferente denominador

Y después agrupar términos semejantes en el numerador:

suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Sumar y restar fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador es así de sencillo. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado en la resta de fracciones algebraicas, ya que el signo menos, afecta a todos los términos del numerador de la fracción que tenga detrás.

Vamos a ver un ejemplo con resta de fracciones algebraicas para que lo entiendas mejor:

suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador

Tenemos el mismo denominador y por tanto, podemos unir todos los numeradores en uno sólo. Pero ahora, delante de la última fracción tenemos un signo menos y como te comentaba antes, afecta a los dos términos del numerador de la fracción que tiene detrás. Por tanto, para que siga siendo así, los términos afectados por el signo menos deben ir encerrados entre paréntesis:

suma y resta de fracciones algebraicas polinomios

En el siguiente paso, eliminamos el paréntesis, cambiando de signo a los términos que tiene dentro:

suma y resta de fracciones algebraicas con diferente denominador ejemplos

Y por último, agrupamos términos semejantes en el numerador:

suma y resta de fracciones algebraicas explicacion

Un error muy común es no encerrar entre paréntesis los términos del numerador de la fracción que está precedida por un signo menos. En caso de no hacerlo, solamente le cambiamos el signo al primer término, lo cual es un error:

suma y resta de fracciones algebraicas paso a paso

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Ahora te voy a explicar cómo sumar y restar fracciones algebraicas con diferente denominador.

Ten en cuenta que sólo se pueden sumar o restar fracciones algebraicas que tengan el mismo denominador, por lo que si tienen distinto denominador, antes hay que reducirlas a común denominador, tal y para sumar y restar fracciones numéricas con distinto denominador.

Obtenemos el denominador común calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Por ejemplo, tenemos sumas y restas de fracciones algebraicas, cuyos denominadores no son iguales:

ayuda para calcular sumas y restas de fracciones algebraicas

El primer paso será reducirlas a denominador común calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores:

suma y resta de fracciones algebraicas con binomios

Para ello, previamente, hay que descomponer los polinomios. Los polinomios de la segunda y la tercera fracción algebraica no se pueden descomponer por ser de grado 1. Descomponemos el denominador de la primera fracción y nos queda:

suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Por tanto, tenemos los factores (x+1) y (x-1), sin ningún exponente (o elevados a 1), por lo que el mínimo común múltiplo será la multiplicación de ambos:

suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores polinomios

Vamos a transformar cada fracción algebraica que ya teníamos en una fracción algebraica equivalente con el denominador común que acabamos de calcular.

Colocamos nuestro nuevo denominador en cada una de las fracciones, listo para empezar a calcular el nuevo numerador de cada fracción:

suma y resta de fracciones algebraicas con factorizacion

Para transformar una fracción algebraica en otra que sea equivalente, tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por el mismo polinomio.

Al colocar el denominador común directamente, ya hemos multiplicando el denominador original por un polinomio, por lo que falta multiplicar el numerador por el mismo polinomio para que la fracción algebraica sea equivalente.

¿Cómo obtenemos ese polinomio por el que hay que multiplicar cada numerador?

Se obtiene dividiendo el denominador común entre el denominador original de cada fracción algebraica:

suma y resta de fracciones algebraicas con exponentes

Vamos a verlo con la primera fracción algebraica de la operación del ejemplo:

Inicialmente teníamos en el denominador el polinomio (x²-1) y en la nueva fracción equivalente tenemos como denominador (x+1).(x-1):

suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador ejercicios

En este caso, el denominador común y el denominador original coinciden ya que (x²-1)=(x+1).(x-1), por tanto, al tener el mismo denominador, el numerador lo multiplicamos por 1, o en otras palabras, se queda igual:

suma y resta de fracciones algebraicas con polinomios

Si calculamos el polinomio por el que multiplicar el numerador mediante la fórmula anterior, obtenemos ese 1:

suma y resta de fracciones algebraicas con denominador monomio

Vamos a ver cuál es el polinomio por el que tenemos que multiplicar la segunda fracción:

suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores compuestos

Teníamos como denominador original (x+1) y ahora tenemos (x+1).(x-1) que es el denominador común. Al dividir el denominador común entre el denominador original nos queda (x-1):

suma y resta de fracciones algebraicas con parentesis

Que es el polinomio por le que tenemos que multiplicar el numerador para que la fracción algebraica sea equivalente a la original:

suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores factorizables

Y por último, hacemos lo mismo con la tercera fracción algebraica:

suma y resta de fracciones algebraicas dificiles

Dividimos el denominador común entre el denominador original:

suma y resta de fracciones algebraicas distinto denominador

Y el resultado lo multiplicamos por el numerador:

 suma y resta de fracciones algebraicas ejemplos

De esta forma hemos obtenido las tres fracciones algebraicas equivalentes con el denominador común:

suma y resta combinadas de fracciones algebraicas ejemplos

Ya tienen el mismo denominador y por tanto, ya se pueden sumar y restar, pero antes, multiplicamos en los numeradores:

suma y resta de fracciones algebraicas 3o eso

Ahora ya podemos unir todos los numeradores en una sola fracción con el denominador común. Ten en cuenta, como siempre, que el signo menor afecta a todos los términos del numerador que tiene detrás y por eso, debemos encerrar esos términos entre paréntesis (no me cansaré de repetirlo):

suma y resta de fracciones algebraicas 4 eso

Eliminamos el paréntesis del numerador:

suma y resta de fracciones algebraicas factorizacion

Agrupamos términos en el numerador y en el último paso, multiplicamos en el denominador para obtener el resultado final:

 ejercicios de suma y resta de fracciones algebraicas con factorizacion

Vamos a resolver otro ejemplo paso a paso para que quede todavía más claro:

guia suma y resta de fracciones algebraicas

Tenemos una suma y resta de fracciones algebraicas con diferente denominador, por lo que tenemos que reducirlas a denominador común. Para ello obtenemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

suma y resta de fracciones algebraicas como se hacen

Los denominadores de la primera y segunda fracción algebraica no se pueden descomponer. Descomponemos el denominador de la tercera fracción algebraica:

suma y resta de fracciones algebraicas con mcm

Tenemos como factores x, x² y (x+1). De entre x y x² nos quedamos con x² por tener mayor exponente y nos quedamos también con (x+1), por lo que el mcm es:

proceso de suma y resta de fracciones algebraicas

Dejamos preparada cada fracción algebraica con el nuevo denominador:

practica de suma y resta de fracciones algebraicas

Multiplicamos cada numerador cada numerador por el polinomio obtenido de dividir el denominador común entre el denominador original:

que es suma y resta de fracciones algebraicas

Unimos todos los numeradores en una sola fracción, teniendo muy en cuenta el signo menos:

suma y resta de fracciones algebraicas resueltas

Operamos en el numerador eliminando paréntesis:

 suma y resta de fracciones algebraicas con respuestas

Y finalmente agrupamos términos y operamos en el denominador para obtener el resultado final:

reglas de suma y resta de fracciones algebraicas

Ejercicios propuestos

Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas:

ejercicios de suma y resta de fracciones algebraicas con solucion

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