A continuación te voy a explicar el teorema de Bolzano: su enunciado, su interpretación, así cómo su aplicación con ejercicios resueltos paso a paso. Vemos también cómo demostrar que una función tienen una única raíz real en un intervalo, aplicando conjuntamente el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle.
¡Empezamos!
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Enunciado del teorema de Bolzano
El enunciado del teorema de Bolzano es el siguiente:
Si una función f:
- es continua en un intervalo cerrado [a,b]
- los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signo distinto, es decir, f(a) positivo y f(b) negativo o viceversa
Entonces:
- existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que el valor de la función en ese punto es igual a cero: f(c)=0
Vamos a ver qué quiere decir todo esto en el siguiente apartado.
Explicación del teorema de Bolzano
Lo que el teorema de Bolzano nos dice no es más que si para dos valores distintos de x, x=1 y x=b los valores de la función en esos puntos tienen signo contrario, entonces la función corta al eje x en un punto c que está entre a y b y por tanto f(c)=0.
Vamos a verlo gráficamente para que te quede más claro.
Tenemos dos casos:
Cuando en x=a, f(a) es positiva y en x=b, f(b) es negativa. Entonces entre x=a y x=b existe un punto c, donde la función corta necesariamente al eje x y por tanto, en ese punto c f(c)=0:
Cuando en x=a, f(a) es negativa y en x=b, f(b) es positiva. Entonces también existe un punto c donde la función corta el eje x y por tanto f(x)=0:
En ambos casos, como la función cambia de signo, entonces debe hacer un punto en el que la función corte al eje x.
Es muy importante que la función sea continua dentro del intervalo ya que de otra forma, este teorema no sería válido.
Por otro lado, el teorema de Bolzano nos dice que existe al menos un punto c donde la función corta al eje x pero puede existir mas de uno y además, no nos dice cómo calcularlo
También debes tener en cuenta que el punto c donde la función corta al eje x, también se le llama solución real o raíz real, por lo que es otra forma de preguntar lo mismo.
Ejercicios resueltos del teorema de Bolzano
Ejercicio 1
Comprobar que la siguiente función:
tiene al menos una solución real en el intervalo [-2,-1].
Nos preguntan que comprobemos que la función tiene una solución real en [-2,-1], es decir, que comprobemos que la función corta al eje x en ese intervalo.
Por tanto, debemos comprobar que se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano.
Por un lado, f(x) es una función polinómica, por lo que es continua en todo R, así que también es continua en el intervalo [-2,-1]:
Ahora vamos a comprobar los signos de los valores de la función en los extremos del intervalo.
Calculamos el valor de la función cuando x=-2:
Cuando x=-2, f(-2)=16 y por tanto es positiva.
Calculamos el valor de la función cuando x=-1:
En x=-1, f(-1)=-3 y por tanto es negativa.
Por tanto, al tener la función signos contrarios en los extremos del intervalo y ser continua, se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano y por tanto podemos afirmar que existe al menos un punto c que corta al eje x, o lo que es lo mismo, un punto c donde f(c)=0, siendo c una solución real de la función.
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