Teorema de Bolzano: Explicación, aplicación y ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar el teorema de Bolzano: su enunciado, su interpretación, así cómo su aplicación con ejercicios resueltos paso a paso. Vemos también cómo demostrar que una función tienen una única raíz real en un intervalo, aplicando conjuntamente el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle.

¡Empezamos!

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Enunciado del teorema de Bolzano

El enunciado del teorema de Bolzano es el siguiente:

Si una función f:

  • es continua en un intervalo cerrado [a,b]
  • los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signo distinto, es decir, f(a) positivo y f(b) negativo o viceversa

Entonces:

  • existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que el valor de la función en ese punto es igual a cero: f(c)=0

Vamos a ver qué quiere decir todo esto en el siguiente apartado.

Explicación del teorema de Bolzano

Lo que el teorema de Bolzano nos dice no es más que si para dos valores distintos de x, x=1 y x=b los valores de la función en esos puntos tienen signo contrario, entonces la función corta al eje x en un punto c que está entre a y b y por tanto f(c)=0.

Vamos a verlo gráficamente para que te quede más claro.

Tenemos dos casos:

Cuando en x=a, f(a) es positiva y en x=b, f(b) es negativa. Entonces entre x=a y x=b existe un punto c, donde la función corta necesariamente al eje x y por tanto, en ese punto c f(c)=0:

Cuando en x=a, f(a) es negativa y en x=b, f(b) es positiva. Entonces también existe un punto c donde la función corta el eje x y por tanto f(x)=0:

En ambos casos, como la función cambia de signo, entonces debe hacer un punto en el que la función corte al eje x.

Es muy importante que la función sea continua dentro del intervalo ya que de otra forma, este teorema no sería válido.

Por otro lado, el teorema de Bolzano nos dice que existe al menos un punto c donde la función corta al eje x pero puede existir mas de uno y además, no nos dice cómo calcularlo

También debes tener en cuenta que el punto c donde la función corta al eje x, también se le llama solución real o raíz real, por lo que es otra forma de preguntar lo mismo.

Ejercicios resueltos del teorema de Bolzano

Ejercicio 1

Comprobar que la siguiente función:

tiene al menos una solución real en el intervalo [-2,-1].

Solución

Nos preguntan que comprobemos que la función tiene una solución real en [-2,-1], es decir, que comprobemos que la función corta al eje x en ese intervalo.

Por tanto, debemos comprobar que se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano.

Por un lado, f(x) es una función polinómica, por lo que es continua en todo R, así que también es continua en el intervalo [-2,-1]:

Ahora vamos a comprobar los signos de los valores de la función en los extremos del intervalo.

Calculamos el valor de la función cuando x=-2:

Cuando x=-2, f(-2)=16 y por tanto es positiva.

Calculamos el valor de la función cuando x=-1:

En x=-1, f(-1)=-3 y por tanto es negativa.

Por tanto, al tener la función signos contrarios en los extremos del intervalo y ser continua, se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano y por tanto podemos afirmar que existe al menos un punto c que corta al eje x, o lo que es lo mismo, un punto c donde f(c)=0, siendo c una solución real de la función.

Aplicación conjunta del teorema de Rolle y el teorema de Bolzano

Según el enunciado del teorema de Bolzano, si se cumplen las condiciones para el teorema se cumpla, existe como mínimo un punto c donde la función corta al eje x, pero puede existir más de uno.

Si queremos comprobar que la función corta una única vez al eje x en un intervalo, es decir, que sólo existe un punto c, ¿cómo lo tendríamos que hacer?

En este caso, tenemos que aplicar conjuntamente el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle, para demostrar con el teorema de Bolzano, que la función corta al eje x y con el teorema de Rolle, que lo hace sólo una vez.

Vamos a ver cómo hacerlo resolviendo el siguiente ejercicio.

Ejercicio 1

Comprobar que la siguiente función sólo puede tener una raíz real en el intervalo [-1,0]:

En primer lugar, con el teorema de Bolzano comprobaremos que existe al menos una raíz real, es decir, que al menos la función corta al eje x una vez.

Para ello, vamos a ir comprobando que cumple con las condiciones del teorema de Bolzano:

Al ser polinómica, la función siempre es continua, por lo que también es continua en el intervalo [-1,0]:

Ahora vamos a comprobar que el valor de la función tiene signos distintos en los extremos del intervalo.

Calculamos el valor de la función en x=-1:

En x=-1, la función es negativa.

Calculamos el valor de la función en x=0:

En x=0, la función es positiva.

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, por lo que podemos afirmar que existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (-1,0), donde la función es igual a cero:

Ahora vamos a demostrar con el teorema de Rolle, que la función sólo corta una vez al eje x, es decir, que sólo tiene una raíz real.

Supongamos que la función tiene esta forma (que no la tiene en la realidad):

Ya hemos comprobado que la función corta al eje x al menos una vez, que sería el punto c.

Suponemos que existe al menos otro punto, el punto d, perteneciente a (-1,0), donde la función también corta al eje x y por tanto f(d)=0:

Según el teorema de Rolle, como f(c)=f(d), existiría un punto e, perteneciente al intervalo (c,d), donde su derivada es igual a cero, es decir, donde habría un máximo (o un mínimo):

Vamos a ver si esto es verdad, comprobando las hipótesis del teorema de Rolle:

Lo comprobaremos en el intervalo [c,d], que es donde la función tiene el mismo valor.

Al ser f(x) una función polinómica, es continua en todo R y por tanto también es continua en [c,d]:

Al ser f(x) una función polinómica, también es derivable en todo R y por tanto es derivable en (-c,d):

Y como ya sabemos que f(c)=f(d)=0, se cumplen todas las condiciones del teorema de Rolle, por lo que existe al menos un punto e perteneciente al intervalo abierto (c,d), tal que f'(e)=0:

Vamos a calcular el punto e.

Obtenemos la derivada de la función:

La derivada en el punto e es igual a 0:

Sustituimos la x por e para obtener f'(e) y la igualamos a 0:

De esta ecuación de segundo grado despejamos e y nos queda:

La ecuación no tiene solución real, por lo que se está contradiciendo el teorema de Rolle y por tanto, no existe ningún punto d (ni ningún otro punto) donde la función corte al eje x, por lo que queda demostrado que la función sólo corta al eje x en el punto c, dentro del intervalo (-1,0), por lo que sólo tiene una raíz real.

Recuerda que era una suposición que existiera ese punto d. Como realmente no existe, por eso hemos llegado a una contradicción.

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