Teorema de Pitágoras. Aplicación. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar qué es el teorema de Pitágoras y cómo aplicarlo, con ejercicios resueltos paso a paso.

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Teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras es una condición que cumplen TODOS LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS y dice así:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Donde “H” es la hipotenusa:

“C” es el cateto mayor:

Y “c” es el cateto menor:

Por tanto, lo primero que hay que saber para poder aplicar el teorema de Pitágoras es saber diferenciar cuál es el cateto mayor, el cateto menor y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Los catetos forman siempre un ángulo recto (por eso se llama triángulo rectángulo) y el ángulo recto se simboliza con un cuadrado y un punto en medio. El cateto mayor es el lado mayor de los que forman el ángulo recto y el el cateto menor es el lado menor de los que forman el ángulo recto.

La hipotenusa es el lado que está enfrente del ángulo recto. Además es el lado más largo del triángulo rectángulo:

Ten en cuenta, que no siempre se ve tan claro que se trate de un triángulo rectángulo. También puedes encontrarte que el ángulo recto se encuentre en la parte de arriba del triángulo rectángulo:

Aplicación del teorema de Pitágoras

¿Cuándo se utiliza el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras se aplica cuando en un triángulo rectángulo conocemos 2 de sus lados y queremos calcular cuánto mide el tercero.

En primer lugar, vamos a comprobar que efectivamente se cumple el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo.

Por ejemplo, tenemos el siguiente triángulo rectángulo:

Partimos del teorema de Pitágoras:

La hipotenusa es mide 5 cm, el cateto mayor mide 4 cm y el cateto menor mide 3 cm. Sustituimos cada lado por su valor en la fórmula:

Resolvemos los cuadrados:

Y operamos en el segundo miembro:

El resultado es el mismo en ambos miembros, luego el teorema de Pitágoras se cumple.

Cómo calcular la hipotenusa conocidos los catetos

Vamos a ver cómo calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuando conocemos lo que miden el cateto mayor y el cateto menor.

Por ejemplo, ¿cuánto mide la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo?

Para calcular la hipotenusa, en el teorema de Pitágoras:

Despejamos H, pasando el cuadrado como raíz cuadrada al segundo miembro:

Ahora sustituimos los valores de los catetos en la fórmula:

Y operamos:

La hipotenusa mide 10 cm.

Cómo calcular el cateto menor conocidos la hipotenusa y el cateto mayor

También podemos calcular cuánto mide el cateto menor, si conocemos las longitudes del cateto mayor y de la hipotenusa.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Calcular el cateto menor en el siguiente triángulo rectángulo:

En primer lugar planteamos el teorema de Pitágoras:

En primer lugar, dejamos sólo en uno de los miembros el cateto menor al cuadrado, pasando el cateto mayor al cuadrado restando al otro término:

Ahora despejamos el cateto menor pasando el cuadrado como raíz cuadrada al miembro contrario:

Ahora sustituimos la hipotenusa y el cateto mayor por sus valores:

Y operamos:

En este caso, el cateto menor tiene una longitud de 5 cm.

Cómo calcular el cateto mayor conocidos la hipotenusa y el cateto menor

Por último, vamos a ver cómo calcular el cateto mayor de un triángulo rectángulo cuando conocemos su hipotenusa y el cateto menor.

Por ejemplo, ¿cuánto mide el cateto mayor en el siguiente triángulo rectángulo?

Escribimos la fórmula del teorema de Pitágoras:

Dejamos solo el cateto mayor al cuadrado, pasando al otro miembro restando el cateto menor al cuadrado:

Ahora despejamos el cateto mayor pasando el cuadrado al otro miembro como raíz cuadrada:

Sustituimos los valores de la hipotenusa y del cateto menor:

Y operamos:

El cateto mayor tendrá un valor de 16 cm.

Por cierto, una cosa que no he dicho es que hay que tener cuidado con las unidades de longitud. Los tres lados deben estar en la misma unidad y por tanto, el lado que calculemos estará en las misma unidades que los otros dos lados.

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

Vamos a resolver un problema típico del teorema de Pitágoras.

Una escalera se apoya sobre una pared vertical que mide 3 metros. Si la distancia entre la base de la escalera y la pared es de 1,5 metros. ¿Cuánto mide la escalera?

En primer lugar tenemos que hacernos un esquema de la situación. En este caso, la pared vertical es el cateto mayor, la distancia entre la pared y la base de la escalera es el cateto menor y la escalera es la hipotenusa:

Por tanto, nos queda un triángulo rectángulo del que conocemos sus dos catetos y tenemos que calcular la hipotenusa.

Del teorema de Pitágoras:

Despejamos H pasando el cuadrado al segundo miembro como raíz cuadrada:

Ahora sustituimos los catetos por sus respectivos valores:

Y operamos:

La escalera mide 3,35 m.

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