▷ Teorema de Pitágoras. Aplicación. Ejercicios resueltos paso a paso.

Teorema de Pitágoras

A continuación te voy a explicar qué es el teorema de Pitágoras y cómo aplicarlo, con ejercicios resueltos paso a paso.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una condición que cumplen TODOS LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS y dice así:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

teorema de pitagoras ejercicios

Donde “H” es la hipotenusa:

ejercicios de teorema de pitagoras

“C” es el cateto mayor:

ejercicios del teorema de pitagoras

Y “c” es el cateto menor:

teorema de pitagoras ejercicios resueltos

Por tanto, lo primero que hay que saber para poder aplicar el teorema de Pitágoras es saber diferenciar cuál es el cateto mayor, el cateto menor y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Los catetos forman siempre un ángulo recto (por eso se llama triángulo rectángulo) y el ángulo recto se simboliza con un cuadrado y un punto en medio. El cateto mayor es el lado mayor de los que forman el ángulo recto y el el cateto menor es el lado menor de los que forman el ángulo recto.

La hipotenusa es el lado que está enfrente del ángulo recto. Además es el lado más largo del triángulo rectángulo:

ejercicios teorema de pitagoras

Ten en cuenta, que no siempre se ve tan claro que se trate de un triángulo rectángulo. También puedes encontrarte que el ángulo recto se encuentre en la parte de arriba del triángulo rectángulo:

ejercicios de pitagoras

Demostración del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras nos dice que en todos los triángulos rectángulos, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

ejemplos del teorema de pitagoras

Si en un triángulo rectángulo, dibujamos tres cuadrados: un cuadrado cuyo lado sea igual a la longitud de la hipotenusa, otro cuadrado cuyo lado sea igual al cateto mayor y otro cuadrado cuyo lado sea igual a la longitud del cuadrado menor nos queda:

ejercicios del teorema de pitagoras resueltos

El área de cuadrado representa la longitud al cuadrado de cada lado.

Vamos a demostrar que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, calculando las áreas de los tres cuadrados y comprobando que la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños (los de los catetos) es igual al área del cuadrado más grande (el de la hipotenusa).

El área del cuadrado del cateto mayor es:

ejercicios sobre el teorema de pitagoras

El área del cuadrado del cateto menor es:

ejercicios de pitagoras resueltos

El área del cuadrado de la hipotenusa es:

ejercicios de pitágoras

La suma de las áreas de los cuadrados de los catetos es igual al área del cuadrado de la hipotenusa:

aplicaciones del teorema de pitagoras

teorema de pitágoras ejercicios

Por tanto, el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Te dejo aquí un vídeo en el que los cuadrados son recipientes y se puede comprobar que el contenido de los dos cuadrados pequeños es el mismo que el cuadrado grande y viceversa:

Aplicación del teorema de Pitágoras

¿Cuándo se utiliza el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras se aplica cuando en un triángulo rectángulo conocemos 2 de sus lados y queremos calcular cuánto mide el tercero.

En primer lugar, vamos a comprobar que efectivamente se cumple el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo.

Por ejemplo, tenemos el siguiente triángulo rectángulo:

ejercicios de teorema de pitagora

Partimos del teorema de Pitágoras:

ejercicios resueltos del teorema de pitagoras

La hipotenusa es mide 5 cm, el cateto mayor mide 4 cm y el cateto menor mide 3 cm. Sustituimos cada lado por su valor en la fórmula:

ejercicios pitagoras

Resolvemos los cuadrados:

pitagoras ejercicios

Y operamos en el segundo miembro:

teorema de pitagoras

El resultado es el mismo en ambos miembros, luego el teorema de Pitágoras se cumple.

Cómo calcular la hipotenusa conocidos los catetos

Vamos a ver cómo calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuando conocemos lo que miden el cateto mayor y el cateto menor.

Por ejemplo, ¿cuánto mide la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo?

ejercicios teorema de pitagora

Para calcular la hipotenusa, en el teorema de Pitágoras:

ejercicios resueltos de teorema de pitagoras

Despejamos H, pasando el cuadrado como raíz cuadrada al segundo miembro:

ejercicios resueltos teorema de pitagoras

Ahora sustituimos los valores de los catetos en la fórmula:

ejercicios de teorema de pitagoras resueltos

Y operamos:

problemas teorema de pitagoras

La hipotenusa mide 10 cm.

Cómo calcular el cateto menor conocidos la hipotenusa y el cateto mayor

También podemos calcular cuánto mide el cateto menor, si conocemos las longitudes del cateto mayor y de la hipotenusa.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Calcular el cateto menor en el siguiente triángulo rectángulo:

ejercicios de teorema de pitágoras

En primer lugar planteamos el teorema de Pitágoras:

ejercicios de aplicacion del teorema de pitagoras

En primer lugar, dejamos sólo en uno de los miembros el cateto menor al cuadrado, pasando el cateto mayor al cuadrado restando al otro término:

ejercicios con el teorema de pitagoras

Ahora despejamos el cateto menor pasando el cuadrado como raíz cuadrada al miembro contrario:

aplicacion del teorema de pitagoras

Ahora sustituimos la hipotenusa y el cateto mayor por sus valores:

teorema de pitagoras ejemplos

Y operamos:

ejemplos de teorema de pitagoras

En este caso, el cateto menor tiene una longitud de 5 cm.

Cómo calcular el cateto mayor conocidos la hipotenusa y el cateto menor

Por último, vamos a ver cómo calcular el cateto mayor de un triángulo rectángulo cuando conocemos su hipotenusa y el cateto menor.

Por ejemplo, ¿cuánto mide el cateto mayor en el siguiente triángulo rectángulo?

problemas resueltos de teorema de pitagoras

Escribimos la fórmula del teorema de Pitágoras:

ejercicios del teorema de pitágoras

Dejamos solo el cateto mayor al cuadrado, pasando al otro miembro restando el cateto menor al cuadrado:

ejercicios de hipotenusa

Ahora despejamos el cateto mayor pasando el cuadrado al otro miembro como raíz cuadrada:

teorema de pitagora ejercicios

Sustituimos los valores de la hipotenusa y del cateto menor:

ejercicios teorema de pitágoras

Y operamos:

problemas resueltos del teorema de pitagoras

El cateto mayor tendrá un valor de 16 cm.

Por cierto, una cosa que no he dicho es que hay que tener cuidado con las unidades de longitud. Los tres lados deben estar en la misma unidad y por tanto, el lado que calculemos estará en las misma unidades que los otros dos lados.

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

Vamos a resolver un problema típico del teorema de Pitágoras.

Una escalera se apoya sobre una pared vertical que mide 3 metros. Si la distancia entre la base de la escalera y la pared es de 1,5 metros. ¿Cuánto mide la escalera?

En primer lugar tenemos que hacernos un esquema de la situación. En este caso, la pared vertical es el cateto mayor, la distancia entre la pared y la base de la escalera es el cateto menor y la escalera es la hipotenusa:

ejercicios con teorema de pitagoras

Por tanto, nos queda un triángulo rectángulo del que conocemos sus dos catetos y tenemos que calcular la hipotenusa.

Del teorema de Pitágoras:

ejercicios desarrollados teorema de pitagoras

Despejamos H pasando el cuadrado al segundo miembro como raíz cuadrada:

teorema de pitagoras problemas resueltos

Ahora sustituimos los catetos por sus respectivos valores:

problemas de teorema de pitagoras

Y operamos:

ejercicios sobre teorema de pitagoras

La escalera mide 3,35 m.

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