En esta lección te voy a explicar cómo aplicar el teorema del cateto en un triángulo rectángulo, con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Teorema del cateto
El teorema del cateto relaciona cada uno de los catetos con la hipotenusa y sus proyecciones sobre ella y por tanto, permite calcular los catetos de un triángulo rectángulo conocidas las proyecciones y la hipotenusa.
Las fórmulas del teorema del cateto son las siguientes:
Donde «a» es el cateto mayor, «b» es el cateto menor, «c» es la hipotenusa y «n» y «m» son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Pero más que aprender estas fórmulas de memoria, te recomiendo que aprendas el procedimiento de cómo llegar hasta ellas, ya que te resultará más fácil también para resolver los problemas.
Para ello, lo primero que debes entender bien es qué son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Partimos del siguiente triángulo rectángulo, colocado de forma que la hipotenusa queda en la parte de abajo:
Donde:
- El lado a es el cateto mayor
- El lado b es el cateto menor
- El lado c es la hipotenusa
Si pusiéramos un foco de luz justo encima del triángulo, la sombra que proyecta el lado b sobre la hipotenusa corresponde a la proyección del cateto menor en la hipotenusa y sería el segmento de color verde en la hipotenusa, «n».
De la misma forma, la sombra que proyecta el lado «a» sobre la hipotenusa corresponde a la proyección del cateto mayor en la hipotenusa y sería el segmento de color azul en la hipotenusa «m».
Por tanto, «n» es la proyección del cateto «b» en la hipotenusa y «m» es la proyección del cateto «a» en la hipotenusa. Ambas proyecciones están separadas por una línea vertical, que corresponde con la altura del triángulo rectángulo.
La altura separa al triángulo en otros dos triángulos rectángulos:
Por semejanza de triángulos, sabemos que si dos triángulos son semejantes, es decir, todos sus ángulos son iguales, entonces sus lados son proporcionales y guardan la misma relación.
Por tanto, estos dos triángulos y el triángulo original son semejantes.
Por tanto, lo que vamos a hacer es comparar la relación entre la hipotenusa y el cateto menor entre el triángulo original y el triángulo que queda a la izquierda:
En el triángulo de la izquierda, el cateto menor es «n» y la hipotenusa es «b»:
En el triángulo original, el cateto menor es «b» y la hipotenusa es «c»:
Comparamos ambas relaciones y nos queda:
De donde podemos despejar «b», que corresponde al cateto menor del triángulo rectángulo original.
Para ello, multiplicamos en cruz ambas fracciones, pasando cada denominador multiplicando al miembro contrario:
Operamos en ambos miembros, quedando b² en uno de ellos:
Y despejamos el cateto menor, pasando el cuadrado como raíz al miembro contrario:
Donde llegamos por fin a la fórmula que relaciona el cateto menor con la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Ahora vamos a obtener la fórmula del cateto mayor. Para ello, vamos a comparar la relación entre la hipotenusa y el cateto mayor entre el triángulo original y el triángulo que queda a la derecha:
En el triángulo de la derecha, el cateto mayor es «m» y la hipotenusa es «a»:
En el triángulo original, el cateto mayor es «a» y la hipotenusa es «c»:
Comparamos ambas relaciones y nos queda:
De donde podemos despejar «a», que corresponde al cateto mayor del triángulo rectángulo original.
Para ello, multiplicamos en cruz ambas fracciones, pasando cada denominador multiplicando al miembro contrario:
Operamos en ambos miembros, quedando a² en uno de ellos:
Y despejamos el cateto menor, pasando el cuadrado como raíz al miembro contrario:
Donde llegamos por fin a la fórmula que relaciona el cateto mayor con la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Lo que te debe quedar claro del teorema del cateto es que para llegar a sus fórmulas, comparamos la relación entre la hipotenusa y cada uno de los catetos del triángulo original con cada uno de los dos triángulos en los que queda dividido por la altura el triángulo original.
Ejercicios resueltos del teorema del cateto
Vamos a resolver unos ejercicios de aplicación del teorema del cateto, donde como verás, no me limitaré a aplicar la fórmula directamente, sino que la iremos deduciendo.
Ejercicio 1
En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 2,4 m y su proyección sobre la hipotenusa mide 2,215 m. Calcula la longitud de la hipotenusa.
Representamos los datos del enunciado para tenerlo todo más claro:
Como nos preguntan la hipotenusa y sabemos lo que mide el cateto mayor, comparamos la relación entre la hipotenusa y el cateto mayor del triángulo original y del triángulo que queda a la derecha:
En el triángulo original, llamamos «c» a la hipotenusa, ya que desconocemos su valor y el cateto mayor mide 2,4 m. En el triángulo de la derecha, la hipotenusa mide 2,4 m y el cateto mayor mide 2,215 m. La comparación de ambas relaciones hipotenusa/cateto mayor queda:
De donde despejamos «c» y operamos:
La hipotenusa mide 2,6 m.
Ejercicio 2
La ciudad A, la ciudad B y la ciudad C está situadas en los vértices de un triángulo rectángulo, habiendo también una gasolinera entre la ciudad C y la ciudad B, tal y como se muestra en la imagen:
Calcula:
a) La distancia que hay entre la ciudad A y la ciudad B
b) La distancia que hay entre la ciudad A y la ciudad C
A la distancia entre la ciudad A y la ciudad C la llamaremos «a» y corresponde con el cateto menor del triángulo rectángulo. A la distancia entre la ciudad A y la ciudad B la llamaremos «b» y corresponde con el cateto mayor del triángulo rectángulo:
Para calcular «b» vamos a comparar la relación entre la hipotenusa y el cateto mayor del triángulo original y el triángulo que queda a la derecha:
En el triángulo original la hipotenusa mide 75 km (25+50) y el cateto mayor es «b». En el triángulo que queda a la derecha, la hipotenusa es «b» y el cateto mayor mide 50 km. La comparación de ambas relaciones hipotenusa/cateto mayor queda:
Para despejar «b», multiplicamos en cruz pasando los denominadores de las fracciones multiplicando al miembro contrario:
Operamos en ambos miembros:
Pasamos el cuadrado al miembro contrario como raíz y operamos:
La distancia «b» entre al ciudad A y la ciudad B es de 61,23 km.
Ahora vamos a calcular la distancia «a» y para ello vamos a comparar la relación entre la hipotenusa y el cateto menor del triángulo original y el triángulo que queda a la izquierda:
En el triángulo original la hipotenusa mide 75 km y el cateto menor es «a». En el triángulo de la izquierda, la hipotenusa es «a» y el cateto menor mide 25 km. La comparación de ambas relaciones hipotenusa/cateto menor queda:
Para despejar «a», multiplicamos en cruz pasando los denominadores de las fracciones multiplicando al miembro contrario:
Operamos en ambos miembros:
Pasamos el cuadrado al miembro contrario como raíz y operamos:
La distancia «b» entre al ciudad A y la ciudad B es de 43,3 km.
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