A continuación te voy a explicar qué dice y cómo se interpreta el teorema del valor medio, también conocido como teorema de Lagrange o de los incrementos finitos. Este teorema se explica en 2º de bachillerato cuando se estudian las aplicaciones de las derivadas.
Veremos qué significa paso a paso y lo aplicaremos en varios ejercicios resueltos.
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Índice de Contenidos
Teorema del valor medio
El teorema del valor medio dice así:
Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] (tiene que ser continua en x=a y x=b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) (no tiene por qué ser derivable ni en x=a ni en x=b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que en ese punto se verifica:
Además f(a) y f(b) tienen que ser distintas.
Simbólicamente, lo podemos expresar así:
¿Y esto que significa?
Tenemos una función f(x) que es continua en [a,b], derivable en (a,b), como esta:
Los puntos x=a y x=b, pertenecen a la función y vemos también que el punto x=a, tiene un valor de la función f(a) y el punto b tiene un valor de la función f(b) que es distinto de f(a).
Por tanto, esta función cumple las condiciones para que se cumpla el teorema del valor medio.
Si trazamos una recta que pase por los puntos A y B:
La pendiente de esa recta, tiene la siguiente fórmula:
Que corresponde a la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.
Lo que dice el teorema del valor medio es que si se cumplen todas las condiciones anteriores, que hemos visto que sí, entonces existe al menos un punto c, en el cual, la recta tangente en ese punto, es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B:
La ecuación de la pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. Por tanto, en el punto c, la ecuación de la pendiente de la recta tangente será:
Cuando dos rectas son paralelas, significa que tienen la misma pendiente, por lo que la pendiente de la recta tangente en el punto c y la pendiente de la recta que pasa por A y B son iguales y por tanto:
El teorema del valor medio dice que existe al menos un punto c, que verifica todo lo anterior, o en otras palabras, que puede existir más de un punto
En este caso, como vemos en la gráfica de la función, tenemos otro punto d donde la recta tangente a la función es paralela a la recta que pasa por A y B:
Por tanto, en ese punto también se cumple:
Cómo aplicar el teorema del valor medio. Ejercicios resueltos
Vamos a ver ahora algunos ejemplos de cómo aplicar el teorema del valor medio y calcular el punto c del teorema.
Ejemplo 1
Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,1]:
En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Debemos comprobar si la ecuación es continua en [0,1] y derivable en (0,1)
Continuidad:
La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,1].
Derivabilidad:
La función es derivable en (0,1) si su derivada es continua en ese intervalo.
La derivada de la función es:
Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.
Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal que:
Vamos a pasar a calcular el punto c del teorema.
Calculamos lo que vale la función en los extremos del intervalo:
Y calculamos f'(c):
Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):
Sustituyendo la x por la c:
Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:
Ejemplo 2
Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,4]:
Tenemos que comprobar que la función es continua y devirable en ese intervalo. Tenemos un punto crítico en el punto x=2, por lo que vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en ese punto (ambos tramos son continuos y derivables por ser polinomios).
Continuidad:
Para ver si la función es continua en x=2, tenemos que comprobar que sus límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden.
El límite por la izquierda de x=2 es:
El límite por la derecha:
Y el valor de la función:
Los límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden:
Por lo que la función es continua en x=2
Ahora vamos a ver si la función es derivable en x=2
Para ello, obtenemos la derivada de f(x):
Y ahora comprobamos si f'(x) es continua en x=2.
El límite por la izquierda es:
El límite por la derecha:
Y el valor de f'(x) en x=2 es:
Los límites laterales y el valor de f'(x) coinciden:
Por tanto f'(x) es continua para x=2 y f(x) es derivable para x=2.
Cumplen las dos condiciones obligatorias, luego se puede aplicar el teorema del valor medio y existirá un punto c en el intervalo [0,4] tal que:
Calculamos el valor de la función en los extremos:
Y calculamos el valor de f'(c):
Por otro lado, obtenemos f'(c), a partir de f'(x), sustituyendo la x por la c:
En el primer tramo no obtenemos ningún valor de c, pero en el segundo tramo, depende de c, que lo igualamos al valor de f'(c) calculado anteriormente y obtenemos lo que vale c:
Ejemplo 3
Halla a y b para que f(x) cumpla las condiciones del teorema del valor medio en [0,2] y calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para ese intervalo:
Para que se cumplan las condiciones del teorema del valor medio, la función debe ser continua y derivable en el punto x=1.
Para que sea continua, los límites laterales de x=1 deben coincidir.
El límite por la izquierda es:
Y el límite por la derecha es:
Como tienen que ser iguales, igualamos ambos resultados, obteniendo la siguiente ecuación
Para que la función sea derivable, su derivada debe ser continua. Por tanto, obtenemos la derivada de la función:
Y comprobamos su continuidad en x=1. Para ello deben coincidir los límites laterales:
Que igualando ambos resultados, obtenemos directamente el valor de b:
Este valor de b, lo sustituimos en la ecuación obtenida anteriormente:
De donde despejamos el valor de a:
Una vez calculados los valores de a y b, los sustituimos en la función
Y vamos a calcular el punto c del teorema del valor medio.
Ya sabemos que la función es continua y derivable, por lo que pasamos a calcular el valor de la función en los extremos del intervalo:
Y ahora calculamos el valor de f'(c):
Por otro lado, obtenemos f'(c), a partir de f'(x), sustituyendo la x por la c:
El primer tramo depende de c, por lo que lo igualamos al valor de f'(c) que hemos obtenido antes y despejamos el valor de c:
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