Teorema del valor medio o de Lagrange

En esta lección te voy a explicar qué dice y cómo se interpreta el teorema del valor medio, también conocido como teorema de Lagrange o de los incrementos finitos. Este teorema se explica en 2º de bachillerato cuando se estudian las aplicaciones de las deviradas.

Veremos qué significa paso a paso y lo aplicaremos en varios ejercicios

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio dice así:

Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] (tiene que ser continua en x=a y x=b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) (no tiene por qué ser derivable ni en x=a ni en x=b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que en ese punto se verifica:

teorema del valor medio

Además f(a) y f(b) tienen que ser distintas.

Simbólicamente, lo podemos expresar así:

teorema del valor medio

¿Y esto que significa?

Tenemos una función f(x) que es continua en [a,b], derivable en (a,b), como esta:

teorema del valor medio

Los puntos x=a y x=b, pertenecen a la función y vemos también que el punto x=a, tiene un valor de la función f(a) y el punto b tiene un valor de la función f(b) que es distinto de f(a).

Por tanto, esta función cumple las condiciones para que se cumpla el teorema del valor medio.

Si trazamos una recta que pase por los puntos A y B:

teorema del valor medio

La pendiente de esa recta, tiene la siguiente fórmula:

teorema del valor medio

Que corresponde a la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.

Lo que dice el teorema del valor medio es que si se cumplen todas las condiciones anteriores, que hemos visto que sí, entonces existe al menos un punto c, en el cual, la recta tangente en ese punto, es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B:

teorema del valor medio

La ecuación de la pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. Por tanto, en el punto c, la ecuación de la pendiente de la recta tangente será:

teorema del valor medio

Cuando dos rectas son paralelas, significa que tienen la misma pendiente, por lo que la pendiente de la recta tangente en el punto c y la pendiente de la recta que pasa por A y B son iguales y por tanto:

teorema del valor medio

El teorema del valor medio dice que existe al menos un punto c, que verifica todo lo anterior, o en otras palabras, que puede existir más de un punto

En este caso, como vemos en la gráfica de la función, tenemos otro punto d donde la recta tangente a la función es paralela a la recta que pasa por A y B:

teorema del valor medio

Por tanto, en ese punto también se cumple:

teorema del valor medio

Cómo aplicar el teorema del valor medio. Ejercicios resueltos

Vamos a ver ahora algunos ejemplos de cómo aplicar el teorema del valor medio y calcular el punto c del teorema.

Ejemplo 1

Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,1]:

En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Debemos comprobar si la ecuación es continua en [0,1] y derivable en (0,1)

Continuidad:

La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,1].

Derivabilidad:

La función es derivable en (0,1) si su derivada es continua en ese intervalo.

La derivada de la función es:

teorema del valor medio

Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.

Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por tanto, existe un valor de c  en ese intervalo tal que:

teorema del valor medio

Vamos a pasar a calcular el punto c del teorema.

Calculamos lo que vale la función en los extremos del intervalo:

teorema del valor medio

teorema del valor medio

Y calculamos f'(c):

teorema del valor medio

Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):

teorema del valor medio

Sustituyendo la x por la c:

teorema del valor medio

Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

teorema del valor medio

Ejemplo 2

Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,4]:

teorema del valor medio

Tenemos que comprobar que la función es continua y devirable en ese intervalo. Tenemos un punto crítico en el punto x=2, por lo que vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en ese punto (ambos tramos son continuos y derivables por ser polinomios).

Continuidad:

Para ver si la función es continua en x=2, tenemos que comprobar que sus límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden.

El límite por la izquierda de x=2 es:

teorema del valor medio

El límite por la derecha:

teorema del valor medio

Y el valor de la función:

teorema del valor medio

Los límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden:

teorema del valor medio

Por lo que la función es continua en x=2

Ahora vamos a ver si la función es derivable en x=2

Para ello, obtenemos la derivada de f(x):

teorema del valor medio

Y ahora comprobamos si f'(x) es continua en x=2.

El límite por la izquierda es:

teorema del valor medio

El límite por la derecha:

teorema del valor medio

Y el valor de f'(x) en x=2 es:

teorema del valor medio

Los límites laterales y el valor de f'(x) coinciden:

teorema del valor medio

Por tanto f'(x) es continua para x=2 y f(x) es derivable para x=2.

Cumplen las dos condiciones obligatorias, luego se puede aplicar el teorema del valor medio y existirá un punto c en el intervalo [0,4] tal que:

teorema del valor medio

Calculamos el valor de la función en los extremos:

teorema del valor medio

teorema del valor medio

Y calculamos el valor de f'(c):

teorema del valor medio

Por otro lado, obtenemos f'(c), a partir de f'(x), sustituyendo la x por la c:

teorema del valor medio

En el primer tramo no obtenemos ningún valor de c, pero en el segundo tramo, depende de c, que lo igualamos al valor de f'(c) calculado anteriormente y obtenemos lo que vale c:

teorema del valor medio

Ejemplo 3

Halla a y b para que f(x) cumpla las condiciones del teorema del valor medio en [0,2] y calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para ese intervalo:

teorema del valor medio

Para que se cumplan las condiciones del teorema del valor medio, la función debe ser continua y derivable en el punto x=1.

Para que sea continua, los límites laterales de x=1 deben coincidir.

El límite por la izquierda es:

teorema del valor medio

Y el límite por la derecha es:

teorema del valor medio

Como tienen que ser iguales, igualamos ambos resultados, obteniendo la siguiente ecuación

teorema del valor medio

Para que la función sea derivable, su derivada debe ser continua. Por tanto, obtenemos la derivada de la función:

teorema del valor medio

Y comprobamos su continuidad en x=1. Para ello deben coincidir los límites laterales:

teorema del valor medio

teorema del valor medio

Que igualando ambos resultados, obtenemos directamente el valor de b:

teorema del valor medio

Este valor de b, lo sustituimos en la ecuación obtenida anteriormente:

teorema del valor medio

De donde despejamos el valor de a:

teorema del valor medio

Una vez calculados los valores de a y b, los sustituimos en la función

teorema del valor medio

Y vamos a calcular el punto c del teorema del valor medio.

Ya sabemos que la función es continua y derivable, por lo que pasamos a calcular el valor de la función en los extremos del intervalo:

teorema del valor medio

teorema del valor medio

Y ahora calculamos el valor de f'(c):

teorema del valor medio

Por otro lado, obtenemos f'(c), a partir de f'(x), sustituyendo la x por la c:

teorema del valor medio

El primer tramo depende de c, por lo que lo igualamos al valor de f'(c) que hemos obtenido antes y despejamos el valor de c:

teorema del valor medio

¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies