A continuación te voy a explicar qué es tipificar la variable en una distribución normal, con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Tipificación de la variable
En una distribución normal estándar N(0,1) es posible obtener las probabilidades, que se corresponden con las áreas encerradas bajo la curva, a la izquierda de un valor z positivo.
Pero, ¿cómo calculamos las probabilidades en distribuciones normales que no sean N(0,1)?
En este caso, debemos transformar la variable del problema a una variable estándar que siga la distribución normal N(0,1). Esta transformación se denomina tipificación de la variable.
Por tanto, tipificar la variable es transformar la variable x que sigue una distribución normal N(μ,σ) a otra variable z equivalente que sigue la distribución N(0,1) y poder así utilizar la tabla. Esta transformación consiste en:
- Trasladar la media a μ=0
- Reducir la desviación típica a σ=1
Estas dos transformaciones se realizan aplicando la siguiente fórmula:
Donde z es el valor que buscamos en la tabla de distribución N(0,1) y x, μ y σ los obtenemos del problema.
Los valores que se distribuyen según la distribución normal estándar N(0,1) y que se designan con la variable z, reciben el nombre de puntuaciones tipificadas.
Vamos a ver un ejemplo:
En una ciudad, la estatura de la población adulta sigue una distribución normal (172,15). ¿Qué porcentaje de esa población mide menos de 182 cm? ¿Qué porcentaje de la población mide más de 150 cm?
En este caso la media es igual 172 cm y la desviación típica es 15 cm:
En la primera cuestión, nos preguntan cuál es la probabilidad de encontrar a alguien que mida menos de 182 cm o que porcentaje mide menos de 182 cm:
Para poder utilizar la tabla de distribución normal N(0,1) tengo que tipificar la variable. Para ello, sustituimos x, μ y σ por los valores que nos da el ejercicio y operamos:
Este z=0,66 de una distribución normal N(0,1) equivale a 182 de una distribución normal N(172,15)
Por tanto, calcular la probabilidad de los valores menores de 182 en una distribución N(172,15) es lo mismo que calcular la probabilidad de los valores menores de 0,66 en una distribución N(0,1):
Obtenemos el valor del área encerrada a la izquierda de 0,66 en la tabla y nos da:
Por lo que el 74,54% de esa población mide menos de 182 cm.
En la segunda cuestión nos pregunta qué porcentaje de al población mide más de 150 cm, es decir, nos preguntan por el área que queda a la derecha de 150 en la distribución normal N(172,15).
En primer lugar tipificamos el 150:
Por tanto, calcular el porcentaje de los valores mayores de 150 en una distribución N(172,15) es lo mismo que calcular el porcentaje de los valores mayores de -1,46 en una distribución N(0,1):
Calcular el valor del área encerrada a la derecha de -1,46 es lo mismo que calcular el área que queda a la izquierda de 1,46 y esto lo obtenemos directamente de la tabla:
Respondiendo al ejercicio, un 92,79% de la población mide más de 150 cm:
Cómo obtener la variable x conocida la probabilidad
En este caso, conozco la probabilidad, porcentaje o el área encerrada entre la curva y una determinada variable x. ¿Cómo calcular esa variable x?
Primero, a partir de la probabilidad, obtengo la variable z en la tabla y una vez conocido el valor de z, despejo el valor de x sustituyendo en la fórmula de la tipificación de la variable.
Vamos a verlo con un ejemplo:
En la ciudad del ejemplo anterior, donde la estatura de la población adulta sigue una distribución normal (172,15). Un 70% de la población mide menos que una determinada estatura, ¿cuál es el valor de esa estatura?
Nos dan el porcentaje y tenemos que hallar el valor de z. Para ello, buscamos en la tabla el valor más próximo a 0,7.
Para z=0,52, tenemos una probabilidad de 0,6985 y para z=0,53 tenemos una probabilidad de 0,7019, por tanto, nos quedaremos con un valor de z=0,525 que se queda en medio de los dos.
En la fórmula de la tipificación:
Sustituimos el valor de z que acabamos de calcular, junto con el de la media y la desviación típica, que nos la da el ejercicio:
Despejamos la x. En primer lugar, el 15 que está dividiendo, pasa multiplicando al primer miembro:
Y el 172 que está restando, pasa sumando al primer miembro:
Operamos y nos queda:
Por tanto, el 70% de la población, mide menos de 179,85 cm.
Ejercicios resueltos de tipificación de variable
Vamos a resolver un ejercicio en el que apliquemos todo lo aprendido.
Los pesos de bebes se distribuyen normalmente con media 3,8 kg y desviación típica 0,5 kg.
a) Hallar el porcentaje de bebés que pesan menos de 2,5 kg
b) En un mes se pesa a 300 bebés. Calcular la cantidad de bebés que se espera que pesen más de 4,5 kg
c) Se encontró que el 10% de los bebés pesan menos de un determinado peso. ¿Cuál es ese peso?
Apartado a:
Nos piden el área encerrada a la izquierda de 2,5 en una distribución normal N(3,8, 0,5):
Para poder obtenerla, tenemos que tipificar el 2,5 para encontrar su equivalente en la distribución normal estándar N(0,1):
El área encerrada a la izquierda de 2,5 en una distribución normal N(3,8, 0,5) equivale al el área encerrada a la izquierda de -2,6 en una distribución normal N(0,1):
Este porcentaje no podemos obtenerlo directamente de la tabla. El área que queda a la izquierda de -2,6 es igual al área que queda a la derecha de 2,6 y su vez, el área que queda a la derecha de 2,6 será igual a 1 menos el valor del área que queda a la izquierda de 2,6:
Calculamos el área que queda a la izquierda de 2,6 directamente de la tabla:
Y con este valor calculamos el área que queda a la derecha de 2,6:
Que recordemos, es la misma que el área que queda a la izquierda de 2,5 en la distribución N(3,8, 0,5):
Por tanto, el porcentaje de bebés que pesa menos de 2,5 kg es del 0,47%
Apartado b:
Tenemos que calcular el área que queda a la derecha de 4,5 en la distribución normal N(3,8, 0,5):
Tipificamos la variable:
El área encerrada a la derecha de 4,5 en una distribución normal N(3,8, 0,5) equivale al el área encerrada a la derecha de 1,4 en una distribución normal N(0,1):
Esta área no podemos obtenerla de la tabla. La calculamos como a 1 menos el área que queda a la izquierda de 1,4, que sí podemos obtenerla de la tabla:
El área que queda a la izquierda de 1,4 la obtenemos de la tabla:
Y con este valor calculamos el área que queda a la derecha de 1,4:
El valor en tanto por uno lo multiplicamos por los 300 bebes para saber cuántos bebes equivalen a ese porcentaje:
Apartado c:
Nos piden calcular el valor de un determinado peso para el cual la probabilidad es menor que un 10%, es decir:
Sabemos que el área que hay a la izquierda de 0 (o a la derecha, ya que la curva es simétrica) es igual a 0,5:
Por tanto, cuando las probabilidades son menores de 0,5,es porque el valor de z es negativo y en este caso, nos dicen que la probabilidad es del 10%, es decir, igual a 0,1:
Por tanto, sabiendo ya que el valor de z va a salir negativo, vamos a calcular el z que cumpla que el área que queda a su izquierda sea igual a 0,1:
Este valor de z no lo podemos obtener directamente de la tabla, pero como sabemos, por simetría tendríamos el área que queda a la derecha de z y si este área es igual a 1 menos el área que queda a la izquierda de este valor de z.
Que despejando, llegamos a la conclusión de que debe ser igual a 0,9:
Buscamos el valor de z que sea igual a 0,9 en la tabla. Tenemos cerca 1,28 y 1,29, por lo que cogemos el valor medio, es decir, z=1,285:
El área que queda a la izquierda de 1,285 es igual a 0,9, por lo que el área que queda a la derecha de 1,285 será igual a 0,1 y por tanto, por simetría, el área que queda a la izquierda de -1,285 será igual a 0,1.
Como nos preguntan por el área que queda a la izquierda de un determinado valor, nuestro valor de z buscado es z=-1,285:
Sustituimos este valor de z, el de la media y la desviación típica en la fórmula:
Despejamos la x:
Y operamos:
Por lo que el 10% de los bebés pesan menos de 3,1575 kg
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