A continuación vamos a ver cómo obtener el vector de dirección de una recta expresada en ecuaciones implícitas. Además, también te enseñaré cómo obtener un punto que pertenezca a esa recta en ecuaciones implícitas, mientras revolemos un ejercicio paso a paso.
¡Empezamos!
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Cómo calcular el vector de dirección de una recta en ecuaciones implícitas
Tenemos una recta expresada en ecuaciones implícitas:
Sabemos que cada una de las ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones implícitas de una recta, corresponde cada con la ecuación implícita de un plano, es decir, que se está expresando la recta como una intersección de dos planos.
Por otro lado, sabemos que las coordenadas de un vector normal al plano se compone por las coordenadas A, B y C, que son los coeficientes de la ecuación implícita del plano.
Por tanto, de la primera ecuación obtendríamos el siguiente vector normal:
Y de la segunda ecuación, el siguiente vector normal:
Si realizamos el producto vectorial de los vectores normales, el resultado será otro vector perpendicular a ellos:
Así que el vector resultado del producto vectorial tendrá la misma dirección que la recta intersección de ambos planos, tratándose por tanto del vector de dirección de la recta.
Por tanto, el vector director de una recta expresado en ecuaciones implícitas se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a cada plano que forma el sistema de ecuaciones implícitas:
Ejercicio resuelto sobre calcular el vector de dirección de una recta en ecuaciones implícitas
Vamos a resolver un ejercicio donde pongamos en práctica lo aprendido en el apartado anterior. El ejercicio es el siguiente:
Halla la ecuación del plano que contiene las siguientes rectas:
Para obtener la ecuación de un plano necesitamos un punto que pertenezca al plano, así como dos vectores de dirección.
Como estamos obteniendo la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s, si encontramos un punto que pertenezca a una de las rectas, como consecuencia, también pertenecerá al plano.
Cómo hallar un punto que pertenezca a una recta, que está expresada en ecuaciones implícitas
Para hallar un punto que pertenezca a una recta, que está expresada en ecuaciones implícitas, le damos un valor a una de las tres incógnitas, quedándonos entonces un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo este sistema obtendremos el valor de las otras dos incógnitas.
En nuestro caso, vamos a hallar un punto que pertenezca a la recta r. Le damos a z el valor 0 y la sustituimos por 0 en el sistema, quedándonos:
Resolvemos el sistema de ecuaciones con dos incógnitas, cuyo resultado es:
Por tanto, el punto que pertenece a la recta r y al plano que estamos obteniendo tiene las siguientes coordenadas:
Vectores de dirección
Ya tenemos el punto que pertenece al plano. Ahora vamos a obtener los vectores de dirección, los cuales corresponderán a los vectores directores de cada uno de las rectas.
Empezamos hallando el vector director de la recta r:
Los vectores normales de los planos que forman la recta son:
Y realizando el producto vectorial de los vectores normales obtenemos el vector director de la recta r:
Desarrollamos el determinante aplicando la regla de Sarrus y nos queda:
Por lo que el vector director de la recta r es:
Lo simplificamos dividiendo todas sus componentes entre -2, para simplificar los cálculos para hallar la ecuación del plano.
Ahora obtenemos el vector de dirección de la recta s:
Obtenemos sus dos vectores normales:
Y calculamos su vector de dirección con el producto vectorial:
Esta vez desarrollamos el determinante mediante la suma de los productos de los elementos de la primera fila por sus respectivos adjuntos:
Resolvemos los determinantes de orden 2:
El vector director de la recta s es:
Ecuación implícita del plano
Ya tenemos un punto que pertenece al plano y dos vectores de dirección:
La ecuación implícita del plano se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas, que las expresamos directamente a partir del punto y de los vectores de dirección:
Ahora resolvemos el sistema considerando «t» y «s» como las incógnitas, y «x», «y» y «z» como términos independientes, que las pasamos al segundo miembro:
Para que el sistema sea compatible determinado y por tanto tenga solución, igualamos el determinante de A* a cero y desarrollamos el determinante (tienes el razonamiento completo en la lección de las ecuaciones del plano):
Obteniendo la ecuación implícita del plano que estamos buscando:
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