Ecuaciones de la recta en el espacio. Ejercicios resueltos.

Vamos a ver las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta en el espacio.Veremos la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación contínua y las ecuaciones implícitas, con ejercicios resueltos paso a paso.

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Una vez conocidas cada una de las formas de una recta en el espacio, podremos pasar de una a otra o saber qué ecuación podemos obtener en función de los datos que conozcamos.

Indicarte, que para entender esta explicación, antes debes dominar las ecuaciones de la recta en el plano, las cuales las tienes explicadas en el Curso de Geometría Analítica en el Plano. Las ecuaciones de la recta en el espacio son similares, ya que tienen una dimensión más (la dimensión z).

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Para obtener la ecuación vectorial de una recta necesitamos un punto por donde pase y su vector de dirección.

Por tanto, tenemos un punto Po, por donde pasa la recta:

Y el siguiente vector de dirección:

Tal y como se muestra en la siguiente figura:

Vamos a ir demostrando poco a poco cómo obtener la ecuación vectorial de una recta en el espacio, conociendo su vector de dirección y un punto perteneciente a la recta.

Tomamos un punto cualquiera de la recta, como puede ser el punto P:

La ecuación vectorial viene determinada por el vector OP, como veremos más abajo, que es el vector que tiene origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto P, que pertenece a la recta:

Podemos hallar el vector OP como la suma vectorial de un vector con origen en el origen de coordenadas y con extremo en el punto Po, que sería el vector OPo más el vector PoP, es decir, otro vector con origen en el punto Po y extremo en el punto P:

Cuya representación gráfica queda:

El vector PoP, también se puede expresar en función del vector director de la recta r, sólo con multiplicar el vector v, por un número t, tal que la longitud del vector v sea la misma que el vector PoP:

Que en gráficamente sería:

Por lo que la ecuación vectorial de una recta en el espacio se expresa de la siguiente forma:

Si ponemos la fórmula anterior, en función de las coordenadas de cada vector nos queda:

Fórmula que podemos obtener directamente cuando conocemos el vector de dirección y un punto que pasa por al recta, siendo X0, Y0 y Zo las coordenadas del punto, V1, V2 y V3, las coordenadas del vector de dirección y t un número perteneciente al conjunto de los números reales.

Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio

Vamos a ahora con las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio, que se obtiene a partir de la ecuación vectorial:

Para ello, multiplicamos el número «t» por cada una de las coordenadas del vector de dirección:

Y sumamos los vectores, coordenada a coordenada, expresándolas en un solo vector:

Ahora, podemos escribir en expresiones separadas la ecuación de cada una de las coordenadas del vector de dirección, obteniendo por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio:

Donde Xo, Yo y Zo son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y V1, V2 y V3 son las coordenadas del vector director:

Por tanto, las ecuaciones paramétricas pueden obtenerse directamente si conocemos el punto y el vector de dirección, sustituyendo las coordenadas por sus valores correspondientes.

Ecuación contínua de la recta en el espacio

La ecuación contínua de la recta en el espacio se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas:

Solo tenemos que ir despejando «t» en cada una de las tres ecuaciones.

En la primera ecuación:

Despejamos «t» y queda:

En la segunda ecuación:

Volvemos a despejar «t»:

Y en la tercera ecuación:

Despejamos «t» de nuevo:

Igualando las tres expresiones obtenidas, ya que «t» es el mismo valor en las tres, llegamos a la ecuación contínua de la recta en el espacio:

Donde una vez más, Xo, Yo y Zo son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y V1, V2 y V3 son las coordenadas del vector director:

Por tanto, la ecuación contínua puede obtenerse directamente conocidos el punto y el vector de dirección, solo con sustituir cada una de las coordenadas por sus valores.

Ecuaciones implícitas de la recta en el espacio

Las ecuaciones implícitas de la recta en el espacio se obtienen a partir de la ecuación contínua:

Igualando las expresiones anteriores dos a dos, es decir, la ecuación que depende de x con la ecuación que depende de «y» y la ecuación que depende de «y» con la ecuación que depende de «z»:

Operando y reordenando términos (tal y como veremos más abajo en el ejemplo) llegamos a las ecuaciones implícitas de una recta en el espacio, las cuales cada una corresponde a la ecuación implícita de un plano:

La intersección de ambos planos, forma una recta.

Ejercicio resuelto sobre las ecuaciones de la recta en el espacio

Vamos a resolver el siguiente ejercicio para aplicar cada una de las ecuaciones que te acabo de explicar:

Expresa las ecuaciones de la recta, en todas sus formas posibles sabiendo que pasa por el punto:

y tiene como vector de dirección:

Empezamos por la ecuación vectorial:

Sustituimos las coordenadas del punto Xo, Yo y Zo por las coordenadas del punto y las coordenadas V1, V2 y V3 por las coordenadas de nuestro vector de dirección y nos queda:

Seguimos con las ecuaciones paramétricas:

Sustituimos X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto y V1, V2 y V3 por las coordenadas del vector de dirección:

Ahora obtenemos la ecuación contínua:

Volviendo a sustituir las coordenadas del punto y del vector

Por último, vamos a obtener las ecuaciones implícitas, igualando la ecuación contínua dos a dos:

Simplificamos las ecuaciones que nos quedan.

La primera ecuación:

Multiplicamos cada denominador, por el numerador del miembro contrario:

Multiplicamos para eliminar paréntesis:

Pasamos todos los términos al primer miembro y reordenamos:

Hacemos la mismo con la segunda ecuación:

Eliminamos denominadores pasándolos multiplicando al miembro contrario:

Eliminamos paréntesis:

Pasamos todos los términos al primer miembro y reordenamos:

Quedando las ecuaciones implícitas de la siguiente manera:

Cómo pasar de las ecuaciones implícitas al resto de ecuaciones de la recta

Hemos visto cómo obtener cada una de las ecuaciones de la recta en el espacio a partir de un punto y un vector de dirección, empezando por la ecuación vectorial y llegando a las ecuaciones implícitas.

Pero si tenemos las ecuaciones implícitas, ¿cómo podemos obtener el resto de ecuaciones de la recta?

Tenemos que resolver el sistema formado por las ecuaciones implícitas, obteniendo de esa forma las coordenadas el punto por donde pasa la recta y del vector de dirección.

Una vez tenemos el punto y el vector de dirección, ya podemos hallar el resto de ecuaciones.

Vamos a ver un ejemplo.

Halla las ecuaciones de la siguiente recta:

en forma vectorial, paramétrica y contínua.

Lo resolvemos por la regla de Cramer.

La matriz de los coeficientes es:

Y la matriz ampliada es:

En este caso la matriz no es cuadrada, por lo que tenemos que tomar la mayor matriz cuadrada que contiene la matriz de los coeficientes y comprobar si su determinante es distinto de cero.

Probamos con el determinante de la submatriz cuadrada formada  por las columnas 1 y 2:

Desarrollamos el determinante y nos da:

Que es distinto de cero, luego el rango de la matriz A es 2, ya que es igual a la dimensión de la mayor submatriz contenida en ella, cuyo determinante es distinto de cero:

La submatriz A1 también está contenida en la matriz ampliada, por lo que su rango también es 2:

Por tanto, al ser al rango de ambas matrices igual a 2 y por tanto, menor al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado:

Eso quiere decir, que va a tener infinitas soluciones, o lo que es lo mismo, que una de las incógnitas puede tomar cualquier valor.

Para resolver sistemas compatibles indeterminados, consideramos la incógnita que puede tomar cualquier valor como si fuera un número cualquiera, que en nuestro caso será la z y por tanto, pasa a ser un término independiente, por lo que la pasamos al segundo miembro, junto con los números:

Ahora la matriz de los coeficientes es:

Cuyo determinante, que hemos calculado antes es igual a -3:

Obtenemos el determinante asociado a «x», sustituyendo la primera columna por la columna de los términos independientes, que depende de z:

Desarrollamos el determinante:

Operamos y agrupamos términos:

La incógnita «x» será igual al determinante asociado a «x» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:

Seguimos con el determinante asociado a «1», sustituyendo la segunda columna por la columna de los términos independientes::

Desarrollamos el determinante:

Operamos y agrupamos términos:

La incógnita «y» será igual al determinante asociado a «y» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:

Hemos calculado las expresiones para x y para «y», que dependen de «z». Como «z» puede tomar cualquier valor, a «z» le asignamos el valor «t» y sustituimos «z» por «t» en las expresiones de «x» y de «y», quedando:

La solución que nos ha quedado, no es más que las ecuaciones paramétricas de la recta. A partir de estas ecuaciones, podemos obtener el punto por donde pasa:

Y el vector de dirección:

Y una vez tenemos el punto y el vector, ya podemos obtener la ecuación vectorial:

Y la ecuación contínua:

Cómo comprobar si tres puntos están alineados en el espacio

Para ver si tres puntos están alineados en el espacio, se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos de los puntos y se comprueba si el tercer punto pertenece a la recta que acabamos de obtener. Si el punto pertenece a la recta, los tres puntos estarán alineados, ya que los tres puntos pertenecen a la misma recta. En caso contrario no estarán alineados.

Vamos a verlo paso a paso con el siguiente ejemplo:

Estudia si los puntos A (3,-4,2), B (1,2,3) y C (-1, 4,6) están alineados.

En primer lugar, vamos a hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. Para ello necesitamos un vector de dirección y un punto que pase por la recta.

El vector de dirección será el vector AB, que tiene como origen el punto A y como extremo el punto B, cuyas coordenadas son:

El punto será el punto A (también podría haber sido el punto B):

Vamos a expresar la ecuación de la recta con la ecuación contínua. Su fórmula es:

Sustituimos las coordenadas del punto y las del vector por sus valores:

Ya tenemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. Vamos a comprobar si C pertenece a la recta:

Para ello, en la ecuación de la recta AB, sustituimos x, y y z por las coordenadas del punto C:

Y operamos en cada miembro de la ecuación:

Un punto pertenece a una recta cuando al sustituir por las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, se cumple la igualdad. En nuestro caso, C no pertenece a la recta, ya que cada miembro tiene un resultado distinto y por tanto, los puntos A, B y C no están alineados:

Ejercicios propuestos sobre ecuaciones de la recta en el espacio

Ejercicio 1

Una recta pasa por el punto P (3,2,1) y es paralela al vector v=(1,-2,3). Comprueba si los puntos A (4,-1,5), B (2,3,-1) y C (6,7,4) pertenecen a la recta anterior.

Ejercicio 2

Expresa cada una de las siguientes rectas de todas las formas posibles:

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