En esta lección te explicaré cómo calcular la concavidad y convexidad de una función en un determinado intervalo sin necesidad de tener la gráfica de la función.
Pero antes, para no confundir términos, vamos a definir qué es una función cóncava y qué es una función convexa.
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Concavidad y convexidad
Una función será cóncava en un intervalo cuando tenga esta «forma de valle»:
Una función será convexa en un intervalo cuando tenga «forma de montaña»:
No hay un criterio único para establecer si la concavidad y la convexidad se definen así o al contrario, por lo que es posible que en otros textos te lo encuentres definido al contrario.
Cómo saber si una función es cóncava o convexa en un intervalo
Teniendo en cuenta la definición anterior para concavidad y convexidad, una función será cóncava en un intervalo cuando el valor de la derivada segunda de un punto de ese intervalo sea mayor que cero:
Una función será convexa en un intervalo cuando el valor de la derivada segunda de un punto de ese intervalo sea menor que cero:
En los puntos de inflexión, la función cambia de cóncava a convexa o viceversa.
Ejercicio resuelto de cómo calcular la concavidad y convexidad en los intervalos de una función
Vamos a calcular los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:
Necesitamos estudiar el signo de la derivada segunda de la función. Por tanto, vamos a calcular la derivada segunda.
La derivada primera es:
Y la derivada segunda:
Ahora vamos a calcular en qué intervalos la derivada segunda es mayor o menor que cero.
Para ello, igualamos la derivada segunda a cero:
Y resolvemos la ecuación, cuyos resultados son:
Los colocamos en la recta numérica:
Tenemos 3 intervalos:
- Desde menos infinito hasta -1,24
- Desde -1,24 hasta 0,21
- Desde 0,21 hasta infinito
¿Cómo sabemos si f»(x) es positiva o negativa en cada intervalo?
Para cada intervalo, elegimos un punto que pertenezca a cada intervalo y calculamos el valor de f»(x) en ese punto.
Para el intervalo comprendido entre el menos infinito y el -1,24, elijo el punto x=-2. Calculo el valor de f»(-2):
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función será cóncava en el intervalo que va desde menos infinito hasta -1,24:
Y lo representamos así en la recta:
Seguimos con el intervalo que va desde -1,24 hasta 0,21. Elijo el punto x=0 y calculo el valor de f»(x) para ese punto:
Es menor que cero, por lo que la función es convexa en ese intervalo:
Y lo representamos en la recta:
Para el tercer intervalo, elegimos el punto x=1:
La derivada segunda en ese intervalo es mayor que cero, por lo que la función será cóncava:
Cuya representación en la recta es:
Y ya tenemos los tres intervalos de la función definidos en cuanto a concavidad y convexidad se refiere.
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