Análisis de circuitos con las leyes de Kirchhoff. Problemas resueltos paso a paso.

A continuación vamos a resolver circuitos aplicando las leyes de Kirchhoff, paso a paso. Aplicaremos varios métodos de resolución de sistemas de ecuaciones para resolver los problemas.

¡Empezamos!

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Problemas resueltos por las leyes de Kirchhoff

Problema 1

En el siguiente circuito, calcula la intensidad en cada rama y la potencia disipada en las resistencias de 3 y 8 ohmios:

En primer lugar, asignamos letras a los nudos y dibujamos las intensidades en cada rama, con un sentido arbitrario:

Aplicamos la primera ley de Kirchhoff a uno de los nudos, por ejemplo al nudo «a»:

Seguimos aplicando la segunda ley de Kirchhoff a las dos mallas del circuito. Para ello, establecemos el sentido con el que recorreremos cada malla:

Para la malla de la izquierda nos queda:

Operamos agrupando términos semejantes:

En la malla de la derecha nos queda:

Aplicando las leyes de Kirchhoff, hemos obtenido tres ecuaciones, con las tres incógnitas (intensidades I1, I2 e I3):

Vamos a resolver el sistema. Lo haremos por el método de sustitución.

En la primera ecuación ya tenemos despejada I1:

En la segunda ecuación:

Sustituyo I1 por su expresión equivalente en función de I2 e I3:

Eliminamos el paréntesis multiplicando el 10 por cada uno de los términos del interior del paréntesis:

Agrupamos términos semejantes:

Esta ecuación, junto con la tercera ecuación del sistema de ecuaciones original, forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (I2 e I3), que resolveremos por el método de sustitución:

En la primera ecuación:

Despejamos I2:

En la segunda ecuación:

Sustituyo I2 por la expresión que acabamos de obtener:

Eliminamos el paréntesis multiplicando el 6 por cada uno de los términos del numerador:

Obtenemos denominador común:

Y eliminamos paréntesis:

Por último, reagrupamos términos semejantes:

Y despejamos I3:

En la expresión donde despejamos I2:

Sustituimos I3 por su valor y operamos:

Con el valor de I2 e I3 ya podemos calcular el valor de I1.

En la primera ecuación del sistema original:

Sustituimos I2 e I3 por sus valores y operamos:

Los valores de las intensidades que hemos obtenido son:

Por tanto, hay que cambiar el sentido asignado a I3:

Los valores de las intensidades con su sentido correcto son:

Una vez tenemos las intensidades de cada rama vamos a calcular la potencia en las resistencias de 3 y 8 ohmios.

Para calcular la potencia utilizaremos la siguiente fórmula:

Donde la intensidad será la que circule por la resistencia en cuestión en cada caso

Para calcular la potencia en la resistencia de 3 ohmios, tenemos en cuenta que la intensidad que circula por ella es I3:

Sustituimos I3 por su valor y operamos:

La intensidad que circula por la resistencia de 8 ohmios es I1, por lo que la fórmula para calcular su potencia queda:

Sustituimos I1 por su valor y operamos:

Problema 2

En el siguiente circuito, calcular la tensión que aparece en los bornes de la lámpara, así como la intensidad y potencia de la misma:

Asignamos letras a los nudos y dibujamos las intensidades en cada rama con sentido al azar:

Aplicamos la primera ley de Kirchhoff a uno de los nudos, por ejemplo al nudo «a»:

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a las dos mallas del circuito, por lo que establecemos el sentido para recorrer cada malla:

En la malla de la izquierda nos queda:

Reagrupamos términos:

En la malla de la derecha tenemos:

Nos queda un por tanto un sistema de tres ecuaciones, cuyas tres incógnitas son I1, I2 e I3:

En este caso, vamos a resolver el sistema de ecuaciones con la regla de Cramer.

Para ello, colocamos las incógnitas en orden en el primer miembro, es decir, primero el término con I1, después el término con I2 y por último el término con I3 y en el segundo miembro dejamos los términos que no tengan incógnita o términos independientes:

Obtenemos el determinante de la matriz de los coeficientes.  Los coeficientes son los números que multiplican a las incógnitas. Si en alguna ecuación nos falta algún término, ponemos un 0:

Aplicamos la regla de Sarrus para resolver el determinante:

Y operamos:

El valor del determinante es distinto de cero:

por lo que estamos ante un sistema compatible determinado, por lo que este sistema tiene solución y podemos resolverlo aplicando la regla de Cramer.

Empezamos obteniendo el determinante asociado a I1, sustituyendo la primera columna por los términos independientes:

Aplicamos la regla de Sarrus:

Y operamos:

I1 es igual al valor del determinante asociado a I1 entre el valor del determinante de la matriz de los coeficientes:

Obtenemos el determinante asociado a I2, sustituyendo la segunda columna por los términos independientes:

Aplicamos la regla de Sarrus:

Y operamos:

I2 es igual al valor del determinante asociado a I2 entre el valor del determinante de la matriz de los coeficientes:

Por último, obtenemos el determinante asociado a I3, sustituyendo la tercera columna por los términos independientes:

Aplicamos la regla de Sarrus:

Y operamos:

I3 es igual al valor del determinante asociado a I3 entre el valor del determinante de la matriz de los coeficientes:

Los valores de las intensidades que hemos obtenido son:

Todas son positivas, lo que quiere decir que el sentido asignado al principio es el correcto:

Vamos a calcular la tensión en la lámpara que es igual a la intensidad I2 por el valor de la resistencia:

Sustituimos valores y operamos:

La potencia en la lámpara la calculamos con la siguiente fórmula:

Sustituimos I2 y R por sus valores y operamos:

Problema 3

En el siguiente circuito, calcular la corriente en la resistencia de 2 ohmios, así como la tensión entre sus bornes y la potencia disipada:

Este circuito es equivalente a este otro, donde se ve más clara la aplicación de las leyes de Kirchhoff:

Dibujamos las intensidades de cada rama, asignándoles un sentido al azar:

Aplicamos la primera ley de Kirchhoff a uno de los nudos, por ejemplo al nudo «a»:

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a las dos mallas del circuito. El sentido para recorrer cada malla es:

En la malla superior nos queda:

En la malla inferior nos queda:

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con las tres intensidades como incógnitas:

En esta ocasión, vamos a aplicar el método de reducción para resolver el sistema.

Pero antes, en la primera ecuación, tenemos despejada I1:

En la segunda ecuación:

Sustituimos I1 por su expresión equivalente en función de I2 e I3:

Operamos para eliminar el paréntesis:

Y reagrupamos términos:

Esta ecuación junto con la tercera ecuación del sistema original forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que es el que resolveremos por el método de reducción:

Para anular I2, multiplico la primera ecuación por -2 y la segunda ecuación por 8:

Sumo ambas ecuaciones:

Del resultado de la suma, despejo I3:

En la primera ecuación:

Sustituyo I3 por su valor:

Opero y despejo I2:

En la ecuación donde tengo despejada I1:

Sustituyo I2 e I3 por sus valores y opero:

Los resultados obtenidos de cada intensidad son:

I1 e I3 son negativas, lo que quiere decir que tengo que cambiar el sentido asignado de ambas intensidades. I2, al ser nula, no la representamos. El circuito queda:

Los valores reales de las intensidades son:

La tensión entre los bornes de al resistencia de 2 ohmios es igual a la tensión entre los puntos a y b, que la calculamos multiplicando I2 por la resistencia:

Como I2 es igual a 0, tampoco tendremos tensión en esta resistencia:

La potencia en esta resistencia la calculamos con la siguiente fórmula:

Que como la intensidad I2 es igual a 0, no disipa ninguna potencia:

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