Tipos de sucesos y operación con sucesos. Ejemplos resueltos.

A continuación te voy a explicar los tipos de sucesos que podemos encontrarnos cuando realizamos ejercicios de probabilidad y veremos también cómo se realizan las operaciones con sucesos, con ejemplos resueltos paso a paso.

¡Vamos allá!

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Espacio muestral, suceso y suceso elemental

Imagínate que metemos en una bolsa 5 papeletas con los números del 1 al 5.

sucesos seguros

Por tanto, podemos obtener 5 resultados diferentes: Podemos sacar el 1, el 2, el 3, el 4 o el 5. A cada uno de estos resultados se le llama suceso elemental.

Por otro lado, llamamos espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

En nuestro caso, el espacio muestral “sacar 5 papeletas de la bolsa” sería:

tipos de sucesos

Todos los sucesos elementales, forman el espacio muestral.

Vamos a ver otro ejemplo: ¿Cuál sería el suceso de lanzar 3 monedas?

Tenemos que ver todos los resultados posibles. Cada moneda puede ser cara o cruz.

Un caso posible resultado puede ser: Lanzamos la primera moneda y sale cara. Después lanzamos la segunda moneda y vuelve a salir cara. Por último lanzamos la tercera moneda que vuelve a salir cara.

Si llamamos C a la cara y X a la cruz, este resultado es CCC

Otros resultados pueden ser CCX, CXC…

Para tener en cuenta todos los resultados posibles, nos hacemos el siguiente esquema, donde si seguimos cada uno de los caminos, tendremos todos los resultados:

Por tanto, el espacio muestral de lanzar tres monedas sería:

Vamos a ver otro ejemplo: ¿Cuál sería el espacio muestral de “lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos”?

En este caso, un posible resultado puede ser lanzar los tres dados y sacar tres 1. La suma sería 3.

Otro resultado sería sacar dos 1 y un 2. En este caso la suma sería 4.

Siguiendo este criterio, la suma más alta sería cuando saquemos tres 6, que sería 18.

Por tanto, en este caso el espacio muestral sería:

Para finalizar, llamamos suceso a una parte del espacio muestral (un subconjunto). Por ejemplo, “sacar 2 papeletas” sería un suceso, ya que “sacar 2 papeletas” es una parte del espacio muestral que es “sacar 5 papeletas”.

La diferencia entre el suceso y ell suceso elemental es que éste último es el suceso más básico (igual que los elementos de un conjunto). El suceso elemental sería “sacar 1 papeleta”

Tipos de sucesos

Una vez tenemos claro nuestro espacio muestral, vamos a definir los tipos de suscesos que existen:

Suceso seguro

En nuestro caso de la bolsa con 5 papeletas numeradas del 1 al 5, un suceso seguro es que vamos a sacar un número que estará entre el 1 o el 5. Por tanto, como su propio nombre indica, un suceso seguro es aquel que es seguro que se va a obtener.

Suceso imposible

Por otro lado, no podemos sacar una papeleta que tenga un número mayor que 5. No podemos sacar un 6, un 15 o un 35, porque esas papeletas no existen. Por tanto, estamos hablando de un suceso imposible, es decir, que nunca se presentará.

Suceso contrario

Me piden que saque 2 papeletas de la bolsa. Saco el 2 y el 3. A este suceso le llamaremos A:

tipos de sucesos probabilidad

tipos de sucesos en probabilidad

El suceso contrario a nuestro suceso A, lo formarían los elementos de nuestro espacio muestral que no están en A. Recordamos que nuestro espacio muestral era:

sucesos seguro

Por lo que el suceso contrario estaría formado por:

suceso seguro y suceso imposible

tipos de sucesos estadistica

El suceso contrario se representa con una barra encima de la letra.

Suceso compatible

Nos piden extraer 3 papeletas y volverlas a echar a la bolsa después. A este le llamaremos el suceso A:

clases de sucesos

Nos piden ahora extraer 2 papeletas y volverlas a dejar en la bolsa después, al que llamaremos suceso B:

sucesos de probabilidad

Cuando dos sucesos, como por ejemplo, A y B, tienen algún suceso elemental en común se les llama sucesos compatibles. En este caso, A y B son compatibles porque tenemos en común el suceso elemental 3

Suceso incompatible

Si por el contrario no tenemos ningún suceso elemental en común, se les llama sucesos incompatibles. Por ejemplo, Nos piden extraer otras 2 papeletas y volverlas a dejar en la bolsa después. Será el suceso C:

3 ejemplos de sucesos seguros

A y C serían sucesos incompatibles al no tener ningún suceso elemental en común. Si te das cuenta, además el suceso C, también sería un suceso contrario de A. Un suceso puede ser de más de un tipo.

Operaciones con sucesos

Vamos a ver ahora las operaciones con sucesos de un experimento aleatorio paso a paso.

Cómo calcular la unión de sucesos

La unión de sucesos se representa con el símbolo ∪, que es similar a una U.

Por ejemplo la unión de dos sucesos A y B sería:

y se leería A unión B.

Veamos ahora cómo se calcula la unión de dos sucesos con un ejemplo.

Imaginemos que lanzamos un dado. Al suceso  “obtener un número par” le llamamos suceso A, que está formado por los números 2, 4 y 6:

Al suceso “obtener un número mayor que 2” le llamaremos suceso B y estará formado por los números 3, 4, 5 y 6.

Por último, al suceso “obtener un número impar”, le llamaremos suceso C y estará formado por los números 1, 3 y 5:

Vamos a calcular A unión B.

¿Qué elementos hay que incluir en la unión?

Pues estarían todos aquellos elementos que o bien están en A o bien están en B, o bien están en los dos sucesos a la vez.

Por tanto los elementos de A unión B son:

  • El 2, que está en A
  • El 3, que está en B
  • El 4, que está en A y B
  • El 5, que está en B
  • El 6, que está en A y B

Veamos otro ejemplo. Vamos a calcular ahora A unión C.

Los elementos de A unión C, serían aquellos que o bien están en A o bien están en C, o bien están en A y C a la vez.

Por tanto los elementos de A unión C son:

  • El 1, que está en C
  • El 2, que está en A
  • El 3, que está en C
  • El 4, que está en A
  • El 5, que está en C
  • El 6, que está en A

Para leer la unión de sucesos en el lenguaje habitual, la unión se sustituye por la letra “o”. De esta forma A unión B, se leería obtener un número par o un número mayor que 2.

De la misma forma, A unión C, se leería obtener un número par o impar.

Cómo calcular la intersección de sucesos

Vamos a seguir con la intersección de sucesos.

La intersección de sucesos se representa con el símbolo ∩, que es una U invertida.

Por ejemplo la intersección de dos sucesos A y B sería:

y se leería A intersección B.

Veamos ahora cómo se calcula la intersección de dos sucesos. Para ello tomaremos los mismos sucesos del ejemplo anterior:

Vamos a calcular A intersección B:

¿Qué elementos hay que incluir en la intersección?

Pues estarían todos aquellos elementos que coinciden en los dos sucesos, es decir que están en A y B a la vez.

Por tanto los elementos de A intersección B son, el 4 y el 6, porque se repiten en ambos sucesos:

Veamos otro ejemplo. Vamos a calcular ahora A intersección C.

En el suceso A y en el suceso C, no se repite ningún elemento. Por tanto, el resultado de A intersección C es un suceso imposible y se representa con el conjunto vacío:

Para leer la intersección de sucesos en el lenguaje habitual, la intersección se sustituye por la letra “y”. De esta forma A interescción B, se leería obtener un número par y un número mayor que 2.

Del mismo modo, A intersección C, se leería obtener un número par y un número impar.

Cómo calcular la diferencia de sucesos

Vamos a ver la última operación que nos queda: la diferencia de sucesos.

La diferencia de sucesos se representa con el signo menos.

La diferencia de dos sucesos A y B sería:

Veamos ahora cómo se calcula la diferencia de dos sucesos, con los mismos sucesos que estamos tomando como ejemplo:

Vamos a calcular A menos B:

¿Cómo se realiza la resta de sucesos?

Como al suceso A le estamos restando el suceso B, entonces al suceso A le restamos los elementos del suceso B que se repitan en A.

Vamos a verlo paso a paso. Tenemos el suceso A:

Ahora, identificamos los elementos de B que se repitan en A, que son el 4 y el 6:

Por último, para realizar A-B, al suceso A le quitamos los elementos del suceso B que se repiten en A, es decir, le quitamos el 4 y el 6, por lo que sólo nos queda el 2:

Comprueba por ti mismo que por ejemplo A-B no es igual a B-A

Vamos a realizar ahora la resta B-C:

Tenemos el suceso B:

Identificamos los elementos de C que se repiten en B, que son 3 y 5:

Por último, para realizar B-C, al suceso B le quitamos los elementos del suceso C que se repiten en B, es decir, le quitamos el 3 y el 5, quedando el 4 y el 6:

Comprueba por ti mismo que por ejemplo B-C no es igual a C-B.

Para leer la diferencia de sucesos en el lenguaje habitual, el signo menos se sustituye por “pero no” o bien por “y no”. Por ejemplo, la diferencia A menos B, se leería obtener un número par pero no un número mayor que 2.

De la misma forma, la diferencia de B menos C, se leería obtener un número mayor que 2 pero no un número impar.

Complementario de un suceso

Existe una última operación que es el complementario de un suceso. Lo tienes explicado más arriba, en los tipos de sucesos, como el suceso contrario. Puedes encontrarlo de las dos formas.

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1

Describe el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos:

a) Sacar dos bolas de una urna con cinco bolas blancas y ocho bolas negras

b) Si llueve o no durante tres días consecutivos

Ejercicio 2

Tenemos una bolsa con 9 papeletas numeradas del 1 al 9. Tenemos que ir sacando papeletas de la bolsa. Si consideramos el suceso A como “salir un número primo” y el suceso B como “salir un número cuadrado”, responde las siguientes preguntas:

a) Calcula los sucesos A∪B y A∩B

b) ¿Los sucesos A y B son compatibles o incompatibles?

c) ¿Cuáles son los sucesos contrarios de A y B?

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