Números complejos: Definición. Forma binómica y cartesinana

Podría decirte que el conjunto de los números complejos contiene a los números reales, se representan con el símbolo C y que incluyen las raíces de todos los polinomios, pero ¿qué quiere decir esto? ¿por qué necesitamos los números complejos?

Dicho con otras palabras lo anterior, recordamos que con los números reales no podemos resolver las raíces pares de números negativos:

números complejos

Por tanto, necesitamos los números complejos para poder resolver con las raíces negativas de índice par.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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Unidad imaginaria

Se le llama unidad imaginaria al número i, que es igual a la raíz de menos uno:

numeros complejos

Con este número, ya podemos dar solución  cuando tengamos raíces negativas:

numeros complejos

Tal y como hemos visto, gracias a las propiedades de las raíces, la raíz negativa podemos ponerla como esa misma raíz positiva, multiplicada por raíz de menos uno.

Finalmente, la raíz positiva ya tiene solución en el conjunto de los números reales y la raíz de menos uno la sustituimos por el número i.

Forma de los números complejos

Un número complejo Z (no confundirse con C, que es el conjunto al que pertenecen) se puede representar de la forma:

 Z = a + bi

Perteneciendo a y b al conjunto de los números reales.

Esta forma de escribir los números complejos corresponde a la forma binómica, que tiene dos partes:

  • a = Parte real
  • b = Parte imaginaria

Éstos son ejemplos de números complejos en forma binómica:

4 – 2i

1/2 + 6i

Si la parte real de un número complejo es 0, ese número es imaginario puro, ya que solo tiene parte imaginaria:

0 + 4i = 4i (imaginario puro)

El número i es un número imaginario puro.

La forma binómica se utiliza en física a la hora de operar con vectores, donde la parte imaginaria se representa mediante la letra j, en vez de con la letra i.

Por otro lado, si no tiene parte imaginaria, estamos hablando de un número real puro, que no es ni más ni menos que un número real:

3 + 0i = 3 (real puro)

Otra forma de representar los números complejos es la forma cartesiana:

Z = (a,b)

Igual que en la forma binómica, a y b pertenencen al conjunto de los números reales y:

  • a = Parte real
  • b = Parte imaginaria

Los ejemplos anteriores representados en forma cartesiana son:

(4 , -2)

(1/2 , 6)

(0 , 4) (imaginario puro)

(3 , 0) (real puro)

(0 , 1) (número i)

También se representan los números complejos en forma polar, que están explicados en otra sección. Veremos también cómo representar geométricamente a los números complejos, para ver visualmente cada una de sus partes en sus diferentes formas.

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo se utiliza en la división de números complejos. Se representa con una barra encima del número. Para obtener el conjugado de un número complejo hay que cambiar el signo de la parte imaginaria (el signo central):

numeros complejos

Por ejemplo:

2 – 3 i → 2 + 3i

Opuesto de un número complejo

Para obtener el opuesto de un número complejo, hay que cambiar de signo tanto la parte real como la parte imaginaria, por tanto el opuesto de Z, será -Z:

numeros complejos 7

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