Números complejos: Definición, formas y representación

A continuación te voy a explicar qué son los números complejos: qué partes lo componen, en qué formas se pueden expresar y cómo se representan en el plano, con ejemplos resueltos.

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Definición de números complejos

Podría decirte que el conjunto de los números complejos contiene a los números reales, se representan con el símbolo C y que incluyen las raíces de todos los polinomios, pero ¿qué quiere decir esto? ¿por qué necesitamos los números complejos?

Dicho con otras palabras lo anterior, recordamos que con los números reales no podemos resolver las raíces pares de números negativos:

numeros complejos definicion

Por tanto, necesitamos los números complejos para poder resolver con las raíces negativas de índice par.

Unidad imaginaria

Se le llama unidad imaginaria al número i, que es igual a la raíz de menos uno:

definicion de numeros complejos

Con este número, ya podemos dar solución  cuando tengamos raíces negativas:

binomica definicion

Según las propiedades de las raíces, la raíz negativa podemos ponerla como esa misma raíz positiva, multiplicada por raíz de menos uno.

Finalmente, la raíz positiva ya tiene solución en el conjunto de los números reales y la raíz de menos uno la sustituimos por el número i.

Forma de los números complejos

Forma binómica

Un número complejo Z (no confundirse con C, que es el conjunto al que pertenecen) se puede representar de la forma:

Perteneciendo a y b al conjunto de los números reales.

Esta forma de escribir los números complejos corresponde a la forma binómica, que tiene dos partes:

  • a = Parte real
  • b = Parte imaginaria

Éstos son ejemplos de números complejos en forma binómica:

Si la parte real de un número complejo es 0, ese número es imaginario puro, ya que solo tiene parte imaginaria:

El número i es un número imaginario puro.

La forma binómica se utiliza en física a la hora de operar con vectores, donde la parte imaginaria se representa mediante la letra j, en vez de con la letra i.

Por otro lado, si no tiene parte imaginaria, estamos hablando de un número real puro, que no es ni más ni menos que un número real:

Forma polar

Los números complejos también se pueden representar en forma polar:

Donde «r», corresponde al módulo (también puedes verlo representado con la letra m), que es la longitud que mide el vector que forma el número complejo:

Por otro lado α es el argumento:

El argumento es el ángulo que forma el número complejo con el semieje positivo del eje x, medido siempre en sentido contrario de las agujas del reloj.

Estos son algunos ejemplos de números complejos en forma polar:

Forma cartesiana

Otra forma de representar los números complejos es la forma cartesiana:

Igual que en la forma binómica, a y b pertenencen al conjunto de los números reales y:

  • a = Parte real
  • b = Parte imaginaria

Los ejemplos anteriores representados en forma cartesiana se expresan de la siguiente manera:

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo se utiliza en la división de números complejos. Se representa con una barra encima del número. Para obtener el conjugado de un número complejo hay que cambiar el signo de la parte imaginaria (el signo central):

concepto de numeros complejos

Por ejemplo:

Opuesto de un número complejo

Para obtener el opuesto de un número complejo, hay que cambiar de signo tanto la parte real como la parte imaginaria, por tanto el opuesto de Z, será -Z:

numeros complejos ejemplos

Por ejemplo:

Representación gráfica de un número complejo

Vamos  a ver cómo representar los números complejos en los ejes de coordenadas, tanto en forma binómica como en forma polar.

Representación gráfica de un número complejo en forma binómica

Los números complejos en forma binómica se representan en un plano, llamado plano complejo, formado por unos ejes de coordenadas, donde al eje x, se le llama eje real y al eje «y» se la llama eje imaginario.

La parte real del número complejo se representa en el eje real (eje x) y la parte imaginaria del número complejo se representa en el eje imaginario (eje y).

Desde la parte real trazamos una línea vertical y desde la parte imaginaria trazamos una línea horizontal. El punto donde se corten ambas líneas, será el extremo del número complejo, llamado afijo.

Podemos tener cuatro casos que son:

Un número complejo con la parte real y la parte imaginaria positivas. Su representación es:

Un número complejo con la parte real negativa y la parte imaginaria positiva. Este caso se representa así:

Un número complejo con la parte real y la parte imaginaria negativas, cuya representación es:

Un número complejo con la parte real positiva y la parte imaginaria negativa. Se representa de la siguiente forma:

Vamos a ver algunos ejemplos de cómo representar números complejos en forma binómica.

Vamos a representar el número complejo Z1:

La parte real del número complejo es 2, luego desde el punto 2 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es -4, por lo que desde el punto -4 del eje imaginario trazamos una línea horizontal. Nos queda:

 

Representamos ahora el número complejo Z2:

Ahora la parte real del número complejo es -5, por tanto, desde el punto -5 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es 3, por lo que desde el punto 3 del eje imaginario trazamos una línea horizontal. Nos queda:

Por último, vamos a representar el número Z3:

La parte real del número complejo es -1, por tanto, desde el punto -1 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es -4, por lo que desde el punto -4 del eje imaginario trazamos una línea horizontal.

El punto donde se unen ambas líneas nos da el extremo del número complejo Z3:

Representación gráfica de un número complejo en forma polar

El número complejo en forma polar, se representa de la siguiente forma:

Vamos a representar unos cuantos números complejos en forma polar:

En este caso, el módulo, es decir, la longitud del vector es 2 y forma un ángulo de 60º con el semieje positivo del eje x:

Seguimos representando el siguiente número complejo en forma polar:

En este caso, la longitud del vector es 4 (date cuenta que el doble de largo que el anterior) y forma un ángulo de 135º con el semieje positivo del eje x:

Por último, representaremos el siguiente número complejo:

En este caso, el módulo es 3 y forma un ángulo de 240º:

Como ves, para representar números complejos en forma polar, dibujamos directamente  su longitud y su inclinación nos la da el ángulo que forma con el semieje positivo del eje x. No es necesario unir dos puntos como cuando se representan en forma binómica.

Sin embargo, aunque el número complejo esté en forma binómica o en forma polar, su representación debe ser la misma, ya que el número complejo es el mismo, solo que expresado en dos formas diferentes.

Como conclusión, lo más importante que debes saber es que están compuestos por una parte real y por una parte imaginaria, que el número i es igual a la raíz de -1 y por tanto, el número i elevado al cuadrado es igual a -1 y cómo obtener el conjugado de un número complejo.

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