Asíntotas de una función. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar qué es una asíntota y cómo calcular las asíntotas de una función, además de cuántos tipos de asíntotas hay. También aplicaremos lo aprendido resolviendo unos ejercicios sobre cálculo de asíntotas.

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¿Qué es una asíntota?

Una asíntota es una recta a la cual la gráfica de la función se va acercando cada vez más, pero que nunca llega a tocar, aunque teóricamente se dice que se tocan en el infinito.

Existen tres tipos de asíntotas: asíntotas horizontales, asíntotas verticales y asíntotas oblicuas. Vamos a ver cómo calcular cada una de ellas.

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales que la función nunca llega a tocar.

Existirá una asíntota horizontal cuando el límite de la función cuando x tienda a infinito, sea igual a un número k determinado:

En ese caso, en y=k, habrá una asíntota horizontal:

De la misma forma, cuando el límite de la función cuando x tiende a menos infinito sea igual a un número determinado, también existirá una asíntota horizontal:

Si cada límite da como resultado un número distinto, entonces es que esa función tiene dos asíntotas horizontales.

Ese número que da como resultado el límite, tiene que se un número finito y por tanto, nunca puede ser más o menos infinito:

En el caso de que los límites anteriores den como resultado más o menos infinito, no existirán asíntotas horizontales.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las que cada vez la función se acerca más, pero nunca llegará a tocar.

Existirá una asíntota vertical cuando el límite de la función cuando x tiende a un número de como resultado más o menos infinito:

En ese caso, habrá una asíntota vertical en x=k:

¿Y cuál es ese número k con el que hay que calcular el límite para hallar la asíntota vertical?

El número con el que se calculan las asíntotas verticales es el número para el cuál el domino de la función no está definido, es decir, el número que no pertenezca al dominio.

Puede ser que más de un número no pertenezca al dominio por tanto, la función tendrá más de una asíntota vertical.

Para calcular las asíntotas verticales utilizamos los límites laterales, que no es necesario que ambos límites laterales tengan el mismo resultado para que exista la asíntota vertical, al contrario que ocurre si queremos comprobar si existe el límite de la función cuando x tiende a un punto.

Por ejemplo, si en un punto en concreto, un límite lateral da más infinito y el otro menos infinito, existirá una asíntota vertical, pero no existirá el límite de la función en ese punto.

Si el dominio de la función es todo R, no existirán asíntotas verticales.

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas sólo se calculan en el caso de que no existan asíntotas horizontales.

Igual que los otros dos tipos de asíntotas, las asíntotas oblicuas son rectas oblicuas, a las que la función se va acercando cada vez más, pero que nunca llega a tocar.

Al ser una recta oblicua tiene esta forma:

Y se trata de calcular los coeficientes m y n para hallar la ecuación de la recta.

Para calcular el coeficiente m utilizamos la siguiente fórmula:

Para que exista la asíntota oblicua, m no puede ser igual a cero, ya que si m=0, la asíntota sería horizontal:

El coeficiente m tampoco puede ser infinito, porque si no la asíntota sería vertical:

El coeficiente n se calcula con la siguiente fórmula:

Y finalmente, una vez obtenidos los valores de los coeficientes m y n, ya tendríamos la ecuación de la recta que define a la asíntota oblicua:

Ejercicios resueltos de cálculo de asíntotas

Vamos a resolver unos ejercicios para aplicar toda la teoría que te acabo de contar.

Calcular las asíntotas de la siguiente función:

Cálculo de asíntotas horizontales

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a infinito:

Sustituimos la x por infinito y llegamos a al resultado de la indeterminación infinito partido por infinito:

Nos quedamos con el término de mayor grado y llegamos al resultado del límite:

Por tanto, en y=1 hay una asíntota vertical:

Calculamos también el límite de cuando x tiende a menos infinito:

Sustituimos la x por menos infinito y llegamos a la indeterminación:

La resolvemos y llegamos al mismo resultado que antes:

Por tanto, sólo tenemos una asíntota horizontal que está en y=1:

Cálculo de asíntotas verticales

Para calcular las asíntotas verticales, antes debemos saber cual es el dominio de la función. El dominio de la función es:

Si necesitas saber cómo calcular el domino de una función lo tienes explicado paso por paso en el Curso de Funciones.

Los números que no pertenecen al dominio, son con los que tenemos que calcular el límite, es decir, 1 y -1.

Empezamos calculando el límite de la función cuando x tiende a 1:

Sustituimos la x por 1 y llegamos a la indeterminación de un número entre cero, que no sabemos si es infinito o menos infinito:

Los límites de este tipo de indeterminación se resuelven  utilizando límites laterales, que si quieres aprender más despacio, paso a paso cómo resolver los límites laterales, lo tienes todo explicado paso por paso en el Curso de Límites.

Empezamos calculando el límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda, cuyo resultado es menos infinito:

Calculamos el límite cuando x tiende a 1 por la derecha, cuyo resultado es más infinito:

Como ambos resultados son más o menos infinito, en x=1 hay una asíntota vertical:

Como he dicho antes, los límites no coinciden y no existe el límite cuando x tiende a 1, pero sí existe la asíntota vertical.

Vamos a seguir con el otro número que no pertenece al dominio: el -1.

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a -1:

Sustituimos la x por -1 y llegamos a la indeterminación de un número entre cero:

Resolvemos la indeterminación de este límite utilizando los límites laterales.

Calculamos el límite cuando x tiende a -1 por la izquierda, cuyo resultado es más infinito:

Calculamos el límite cuando x tiende a -1 por la derecha, cuyo resultado es menos infinito:

Igual que antes, los límites no coinciden, pero como ambos dan como resultado más o menos infinito, entonces en x=-1 hay una asíntota vertival:

Cálculo de asíntotas oblicuas

En este caso, al existir asintota horizonal, directamente no existe la asíntota oblicua.

De todas formas, si nos pusiéramos a calcularla sin darnos cuenta de esto, nos saldría que m valdría 0, por lo que estaríamos volviendo a calcular la asíntota horizontal.

Si representamos gráficamente la función y sus asíntotas nos queda de la siguiente manera, representado en color rojo la función y en color azul y a trazos las asíntotas horizontales y verticales. Date cuenta como la función se acerca a las asíntotas pero nunca las llega a tocar:

Vamos a resolver otro ejercicio de cálculo de asíntotas.  Calcular las asíntotas de la siguiente función:

Cálculo de asíntotas horizontales

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a infinito:

Sustituimos la x por infinito y llegamos a una indeterminación:

Resolvemos la indeterminación y obtenemos como resultado infinito:

Luego con infinito, no hemos encontrado ninguna asíntota horizontal.

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a menos infinito y el resultado es menos infinito:

Como ninguno de los dos límites ha dado como resultado un número finito, la función no tiene asíntotas horizontales.

Cálculo de asíntotas verticales

Para calcular las asíntotas verticales, calculamos el dominio de la función, que es:

El número que no pertenece al domino es el posible candidato a ser una asíntota vertical, que en este caso es el 3.

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 3:

Sustituimos la x por 3 y llegamos a una indeterminación de número entre cero:

Calculamos los límites laterales.

El límite cuando x tiende a 3 por la izquierda, cuyo resultado es menos infinito:

El límite cuando x tiende a 3 por la derecha, cuyo resultado es más infinito:

El resultado de los límites laterales no coincide, pero como ambos dan como resultado más o menos infinito, entonces en x=3 hay una asíntota vertical:

Cálculo de asíntotas oblicuas

Como la función no tiene asíntotas horizontales, tendrá asíntotas oblicuas, cuya ecuación será:

Vamos a calcular entonces los coeficientes m y n.

Empezamos por el coeficiente m que lo calculamos con la fórmula:

Que sustituyendo f(x) por nuestra función queda:

Operamos realizando la división de fracciones y multiplicando después en el denominador:

Sustituimos ahora la x por infinito y llegamos a la indeterminación:

Dejamos el término de mayor grado en el numerador y en el denominador y llegamos al resultado del límite:

Por tanto, en este caso, m es igual a 1:

Vamos a obtener ahora el coeficiente n, que lo calculamos con la fórmula:

Sustituimos f(x) y el coeficiente m que acabos de calcular y queda:

Operamos dentro del corchete, obteniendo denominador común para realizar la resta y después agrupando términos en el numerador:

Sustituimos la x por infinito y queda:

Resolvemos esta indeterminación y llegamos al resultado:

El coeficiente n es igual a 3:

Por tanto, después de sustituir los valores de los coeficientes m y n en la ecuación de la recta, nos queda que la asíntota oblicua es:

Si representamos gráficamente la función, la asíntota vertical y la asíntota oblicua, queda de esta forma:

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