▷ Asíntotas de una función. Ejercicios resueltos paso a paso.

Asíntotas de una función: cómo se calculan. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar qué es una asíntota y cómo calcular las asíntotas de una función, además de cuántos tipos de asíntotas hay. También aplicaremos lo aprendido resolviendo unos ejercicios sobre cálculo de asíntotas.

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¿Qué es una asíntota?

Una asíntota es una recta a la cual la gráfica de la función se va acercando cada vez más, pero que nunca llega a tocar, aunque teóricamente se dice que se tocan en el infinito.

Existen tres tipos de asíntotas: asíntotas horizontales, asíntotas verticales y asíntotas oblicuas. Vamos a ver cómo calcular cada una de ellas.

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales que la función nunca llega a tocar.

Existirá una asíntota horizontal cuando el límite de la función cuando x tienda a infinito, sea igual a un número k determinado:

asintotas

En ese caso, en y=k, habrá una asíntota horizontal:

ejercicios de asintotas

De la misma forma, cuando el límite de la función cuando x tiende a menos infinito sea igual a un número determinado, también existirá una asíntota horizontal:

asintotas de una funcion ejercicios resueltos

asintotas de una funcion

Si cada límite da como resultado un número distinto, entonces es que esa función tiene dos asíntotas horizontales.

Ese número que da como resultado el límite, tiene que se un número finito y por tanto, nunca puede ser más o menos infinito:

asintotas ejercicios

En el caso de que los límites anteriores den como resultado más o menos infinito, no existirán asíntotas horizontales.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las que cada vez la función se acerca más, pero nunca llegará a tocar.

Existirá una asíntota vertical cuando el límite de la función cuando x tiende a un número de como resultado más o menos infinito:

asintota horizontal

En ese caso, habrá una asíntota vertical en x=k:

asintota

¿Y cuál es ese número k con el que hay que calcular el límite para hallar la asíntota vertical?

El número con el que se calculan las asíntotas verticales es el número para el cuál el domino de la función no está definido, es decir, el número que no pertenezca al dominio.

Puede ser que más de un número no pertenezca al dominio por tanto, la función tendrá más de una asíntota vertical.

Para calcular las asíntotas verticales utilizamos los límites laterales, que no es necesario que ambos límites laterales tengan el mismo resultado para que exista la asíntota vertical, al contrario que ocurre si queremos comprobar si existe el límite de la función cuando x tiende a un punto.

Por ejemplo, si en un punto en concreto, un límite lateral da más infinito y el otro menos infinito, existirá una asíntota vertical, pero no existirá el límite de la función en ese punto.

Si el dominio de la función es todo R, no existirán asíntotas verticales.

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas sólo se calculan en el caso de que no existan asíntotas horizontales.

Igual que los otros dos tipos de asíntotas, las asíntotas oblicuas son rectas oblicuas, a las que la función se va acercando cada vez más, pero que nunca llega a tocar.

Al ser una recta oblicua tiene esta forma:

como calcular asintotas

Y se trata de calcular los coeficientes m y n para hallar la ecuación de la recta.

Para calcular el coeficiente m utilizamos la siguiente fórmula:

ejercicios de asintotas resueltos

Para que exista la asíntota oblicua, m no puede ser igual a cero, ya que si m=0, la asíntota sería horizontal:

calcular asintotas

El coeficiente m tampoco puede ser infinito, porque si no la asíntota sería vertical:

asintotas ejercicios resueltos paso a paso

El coeficiente n se calcula con la siguiente fórmula:

asintotas oblicuas ejercicios resueltos

Y finalmente, una vez obtenidos los valores de los coeficientes m y n, ya tendríamos la ecuación de la recta que define a la asíntota oblicua:

ejercicios asintotas

Ejercicios resueltos de cálculo de asíntotas

Vamos a resolver unos ejercicios para aplicar toda la teoría que te acabo de contar.

Calcular las asíntotas de la siguiente función:

halla las asintotas de las funciones siguientes

Cálculo de asíntotas horizontales

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a infinito:

ejercicios resueltos de asintotas

Sustituimos la x por infinito y llegamos a al resultado de la indeterminación infinito partido por infinito:

asintotas verticales y horizontales ejercicios resueltos

Nos quedamos con el término de mayor grado y llegamos al resultado del límite:

asintotas horizontales ejercicios resueltos

Por tanto, en y=1 hay una asíntota vertical:

asintota vertical

Calculamos también el límite de cuando x tiende a menos infinito:

asintotas ejercicios resueltos

Sustituimos la x por menos infinito y llegamos a la indeterminación:

asintotas verticales ejercicios resueltos

La resolvemos y llegamos al mismo resultado que antes:

calculo de asintotas

Por tanto, sólo tenemos una asíntota horizontal que está en y=1:

asintotas oblicuas ejercicios

Cálculo de asíntotas verticales

Para calcular las asíntotas verticales, antes debemos saber cual es el dominio de la función. El dominio de la función es:

ejemplos de asintotas

Si necesitas saber cómo calcular el domino de una función lo tienes explicado paso por paso en el Curso de Funciones.

Los números que no pertenecen al dominio, son con los que tenemos que calcular el límite, es decir, 1 y -1.

Empezamos calculando el límite de la función cuando x tiende a 1:

asintota oblicua ejercicios

Sustituimos la x por 1 y llegamos a la indeterminación de un número entre cero, que no sabemos si es infinito o menos infinito:

asíntotas

Los límites de este tipo de indeterminación se resuelven  utilizando límites laterales, que si quieres aprender más despacio, paso a paso cómo resolver los límites laterales, lo tienes todo explicado paso por paso en el Curso de Límites.

Empezamos calculando el límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda, cuyo resultado es menos infinito:

asintotas verticales horizontales y oblicuas ejercicios resueltos

Calculamos el límite cuando x tiende a 1 por la derecha, cuyo resultado es más infinito:

como calcular las asintotas de una funcion

Como ambos resultados son más o menos infinito, en x=1 hay una asíntota vertical:

asíntota horizontal

Como he dicho antes, los límites no coinciden y no existe el límite cuando x tiende a 1, pero sí existe la asíntota vertical.

Vamos a seguir con el otro número que no pertenece al dominio: el -1.

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a -1:

ejercicios de asintotas oblicuas

Sustituimos la x por -1 y llegamos a la indeterminación de un número entre cero:

como sacar asintotas

Resolvemos la indeterminación de este límite utilizando los límites laterales.

Calculamos el límite cuando x tiende a -1 por la izquierda, cuyo resultado es más infinito:

como hallar las asintotas de una funcion

Calculamos el límite cuando x tiende a -1 por la derecha, cuyo resultado es menos infinito:

ejercicios de asintotas verticales

Igual que antes, los límites no coinciden, pero como ambos dan como resultado más o menos infinito, entonces en x=-1 hay una asíntota vertival:

ejercicios de asintotas horizontales y verticales

Cálculo de asíntotas oblicuas

En este caso, al existir asintota horizonal, directamente no existe la asíntota oblicua.

De todas formas, si nos pusiéramos a calcularla sin darnos cuenta de esto, nos saldría que m valdría 0, por lo que estaríamos volviendo a calcular la asíntota horizontal.

Si representamos gráficamente la función y sus asíntotas nos queda de la siguiente manera, representado en color rojo la función y en color azul y a trazos las asíntotas horizontales y verticales. Date cuenta como la función se acerca a las asíntotas pero nunca las llega a tocar:

asintota horizontal ejercicios resueltos

Vamos a resolver otro ejercicio de cálculo de asíntotas.  Halla las asíntotas de la siguiente función:

asintotas ejercicios resueltos con graficas

Cálculo de asíntotas horizontales

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a infinito:

ejercicios resueltos de asintotas verticales y horizontales pdf

Sustituimos la x por infinito y llegamos a una indeterminación:

como sacar la asintota horizontal

Resolvemos la indeterminación y obtenemos como resultado infinito:

ejercicios de asintotas verticales y horizontales

Luego con infinito, no hemos encontrado ninguna asíntota horizontal.

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a menos infinito y el resultado es menos infinito:

como hallar asintotas

Como ninguno de los dos límites ha dado como resultado un número finito, la función no tiene asíntotas horizontales.

Cálculo de asíntotas verticales

Para calcular las asíntotas verticales, calculamos el dominio de la función, que es:

asíntota

El número que no pertenece al domino es el posible candidato a ser una asíntota vertical, que en este caso es el 3.

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 3:

como calcular las asintotas

Sustituimos la x por 3 y llegamos a una indeterminación de número entre cero:

asintotas horizontales y verticales ejercicios resueltos

Calculamos los límites laterales.

El límite cuando x tiende a 3 por la izquierda, cuyo resultado es menos infinito:

ejercicios de asíntotas

El límite cuando x tiende a 3 por la derecha, cuyo resultado es más infinito:

ejemplo de asintotas

El resultado de los límites laterales no coincide, pero como ambos dan como resultado más o menos infinito, entonces en x=3 hay una asíntota vertical:

asintota vertical ejercicios resueltos

Cálculo de asíntotas oblicuas

Como la función no tiene asíntotas horizontales, tendrá asíntotas oblicuas, cuya ecuación será:

ejercicios de asintotas horizontales

Vamos a calcular entonces los coeficientes m y n.

Empezamos por el coeficiente m que lo calculamos con la fórmula:

ejercicios resueltos asintotas

Que sustituyendo f(x) por nuestra función queda:

hallar las asintotas de una funcion

Operamos realizando la división de fracciones y multiplicando después en el denominador:

ejercicios asintotas resueltos

Sustituimos ahora la x por infinito y llegamos a la indeterminación:

asintotas horizontales ejemplos

Dejamos el término de mayor grado en el numerador y en el denominador y llegamos al resultado del límite:

problemas de asintotas

Por tanto, en este caso, m es igual a 1:

asintotas horizontales como se calculan

Vamos a obtener ahora el coeficiente n, que lo calculamos con la fórmula:

ejercicios asintotas 1 bachillerato

Sustituimos f(x) y el coeficiente m que acabos de calcular y queda:

asintotas horizontales

Operamos dentro del corchete, obteniendo denominador común para realizar la resta y después agrupando términos en el numerador:

asintotas verticales ejercicios

Sustituimos la x por infinito y queda:

calcular las asintotas de una funcion

Resolvemos esta indeterminación y llegamos al resultado:

calcular asintotas de una funcion

El coeficiente n es igual a 3:

ecuaciones de las asintotas

Por tanto, después de sustituir los valores de los coeficientes m y n en la ecuación de la recta, nos queda que la asíntota oblicua es:

ejercicio de asintotas

Si representamos gráficamente la función, la asíntota vertical y la asíntota oblicua, queda de esta forma:

asintotas verticales y horizontales ejercicios

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