A continuación te voy a explicar cómo calcular volúmenes de sólidos con integrales dobles. Veremos qué fórmula se utiliza y resolveremos un ejercicio paso por paso, en el que te enseñaré cómo obtener los límites de integración y cómo resolver la integral.
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Cómo calcular volúmenes con integrales dobles
Consideremos un sólido T, cuyo volumen está limitado superiormente por z=f(x,y) e inferiormente por la región Ω, siendo z=f(x,y) una función que depende de x y de «y»:
Por tanto, el volumen del sólido T se puede calcular como la integral doble:
Estableciendo los límites de integración para dx y para dy, la integral doble para el cálculo de volúmenes queda de la forma:
La resolución de esta integral, radica su dificultad por un lado en establecer los límites de integración para dx y para dy y por otro en la elección del método de resolución a aplicar, teniendo en cuenta la complejidad de las nuevas integrales que van surgiendo en el desarrollo.
La mejor forma de entender cómo se aplica esta fórmula y cómo se resuelve es mediante un ejercicio resuelto paso a paso, que es lo que vamos a ver en el siguiente apartado.
Ejercicio resuelto de cálculo de volúmenes con integrales dobles
Vamos a resolver un ejercicio paso a paso sobre cálculo de volúmenes con integrales dobles, como por ejemplo éste:
Calcular el volumen de la región sólida limitada por el siguiente paraboloide y el plano xy:
Para calcular el corte del paraboloide con el plano xy, hacemos z=0:
Por lo que nos queda esta ecuación f(x,y) que depende de las variables x e y:
Esta ecuación corresponde a la ecuación de una elipse, aunque a simple vista no lo parezca pero si dividimos todo entre 4 para que el segundo miembro aparezca un 1 y operamos queda:
Teniendo en cuenta la ecuación general de una elipse:
Y si ponemos nuestra ecuación de la misma forma:
Ahora ya vemos más claro que se trata de la ecuación de una elipse con centro en el punto (0,0), cuyo semieje mayor mide 2 y su semieje menor mide √2. Si lo representamos queda:
Hemos dibujado el rectángulo vertical dx, que se mueve horizontalmente entre -2 y 2, por lo que esos son los límites de integración de dx:
Para establecer los límites de integración de dy, despejamos «y» en la ecuación de la elipse:
El cuadrado al que está elevada la «y» pasa al segundo miembro en forma de raíz cuadrado, que tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa:
Cada una de las soluciones corresponde al limite inferior y al límite superior de dy:
Ya tenemos los límites de integración y la fórmula dependiente de x y de «y» que tenemos que integrar, por lo que la fórmula del cálculo de volumen mediante integrales dobles queda:
Ahora vamos a pasar a resolverla.
Integramos la integral con respecto a dy:
Y después de aplicar la regla de Barrow nos queda:
Sacamos la constante fuera de la integral:
Llegados a este punto, a este paso lo llamaremos «paso 1» para luego volver aquí, ya que nos vamos a centrar en calcular solamente la integral, para no tener que ir arrastrando la constante en todos los paso. Por tanto seguimos resolviendo esta integral:
Para resolver esta integral, realizamos la siguiente sustitución trigonométrica:
Al realizar la sustitución trigonométrica, pasamos de integrar con respecto a x, para integrar con respecto a t, por lo que los límites de integración también se ven afectados y hay que pasarlos a la variable t:
En primer lugar, sustituimos la x por -2 y despejamos la t:
Y hacemos lo mismo sustituyendo la x por 2:
Teniendo en cuenta los nuevos límites y susituyendo x y dx por sus nuevos valores en función de t, la integral nos queda:
Resolvemos el cuadrado del seno:
Sacamos factor común al 4 dentro del paréntesis:
En este punto, aplicamos el siguiente cambio trigonométrico:
Y la integral queda de la siguiente forma:
Pasamos la forma exponencial del paréntesis a raíz:
Resolvemos los cubos que quedan dentro de la raíz:
Y ahora resolvemos la raíz
Agrupamos términos semejantes y sacamos la constante fuera de la integral:
Una vez más, vamos a llamar a este paso «paso 2» para volver luego aquí y nos vamos a centrar en resolver la integral, pero esta vez sin límites de integración. Nos quedamos con la siguiente integral:
Esta integral se resuelve por partes y para ello, la vamos a dividir en dos factores de esta forma:
Para que la función a integrar sea cos t.dt y el resto sea la función a integrar. Integramos f’ y derivamos g:
Aplicamos la fórmula del método de resolución por partes y queda:
Dentro de la integral, operamos y agrupamos términos semejantes:
Sacamos el signo menos y la constante fuera de la integral:
Y aplicamos de nuevo un cambio trigonométrico, que es el siguiente:
Lo sustituimos en la integral y queda:
Separamos la integral en dos sumandos:
Sacamos la constante fuera de cada integral:
Y por último integramos cada integral por el método de las integrales inmediatas:
Sacamos factor común a la fracción 1/8 que queda multiplicada por el 3:
Volvemos al «paso 2»:
Y sustituimos la integral por su resultado antes de aplicar al regla de Barrow:
Y ahora volvemos al «paso 1»
Y sustituimos la integral por el resultado que acabamos de obtener para el «paso 2»:
Ahora vamos a terminar de aplicar la regla de Barrow.
Al sustituir dentro del corchete la t por el límite superior nos queda:
Sustituimos ahora la t por el límite inferior y nos queda:
Restamos ambos resultados:
Operamos y nos queda una raíz en el denominador:
Que racionalizamos para obtener por fin el volumen del sólido que estábamos buscando, que está en unidades cúbicas al ser un volumen:
Como ves, para poder calcular el volumen de un sólido con integrales dobles, hay que conocer previamente los métodos de integración y tener muy claro cómo obtener los límites de integración.
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