Cálculo de volúmenes con integrales dobles. Ejercicio resuelto paso a paso.

A continuación te voy a explicar cómo calcular volúmenes de sólidos con integrales dobles. Veremos qué fórmula se utiliza y resolveremos un ejercicio paso por paso, en el que te enseñaré cómo obtener los límites de integración y cómo resolver la integral.

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Cómo calcular volúmenes con integrales dobles

Consideremos un sólido T, cuyo volumen está limitado superiormente por z=f(x,y) e inferiormente por la región Ω, siendo z=f(x,y) una función que depende de x y de “y”:

Por tanto, el volumen del sólido T se puede calcular como la integral doble:

Estableciendo los límites de integración para dx y para dy, la integral doble para el cálculo de volúmenes queda de la forma:

La resolución de esta integral, radica su dificultad por un lado en establecer los límites de integración para dx y para dy y por otro en la elección del método de resolución a aplicar, teniendo en cuenta la complejidad de las nuevas integrales que van surgiendo en el desarrollo.

La mejor forma de entender cómo se aplica esta fórmula y cómo se resuelve es mediante un ejercicio resuelto paso a paso, que es lo que vamos a ver en el siguiente apartado.

Ejercicio resuelto de cálculo de volúmenes con integrales dobles

Vamos a resolver un ejercicio paso a paso sobre cálculo de volúmenes con integrales dobles, como por ejemplo éste:

Calcular el volumen de la región sólida limitada por el siguiente paraboloide y el plano xy:

Para calcular el corte del paraboloide con el plano xy, hacemos z=0:

Por lo que nos queda esta ecuación f(x,y) que depende de las variables x e y:

Esta ecuación corresponde a la ecuación de una elipse, aunque a simple vista no lo parezca pero si dividimos todo entre 4 para que el segundo miembro aparezca un 1 y operamos queda:

Teniendo en cuenta la ecuación general de una elipse:

Y si ponemos nuestra ecuación de la misma forma:

Ahora ya vemos más claro que se trata de la ecuación de una elipse con centro en el punto (0,0), cuyo semieje mayor mide 2 y su semieje menor mide √2. Si lo representamos queda:

Hemos dibujado el rectángulo vertical dx, que se mueve horizontalmente entre -2 y 2, por lo que esos son los límites de integración de dx:

Para establecer los límites de integración de dy, despejamos “y” en la ecuación de la elipse:

El cuadrado al que está elevada la “y” pasa al segundo miembro en forma de raíz cuadrado, que tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa:

Cada una de las soluciones corresponde al limite inferior y al límite superior de dy:

Ya tenemos los límites de integración y la fórmula dependiente de x y de “y” que tenemos que integrar, por lo que la fórmula del cálculo de volumen mediante integrales dobles queda:

Ahora vamos a pasar a resolverla.

Integramos la integral con respecto a dy:

Y después de aplicar la regla de Barrow nos queda:

Sacamos la constante fuera de la integral:

Llegados a este punto, a este paso lo llamaremos “paso 1” para luego volver aquí, ya que nos vamos a centrar en calcular solamente la integral, para no tener que ir arrastrando la constante en todos los paso. Por tanto seguimos resolviendo esta integral:

Para resolver esta integral, realizamos la siguiente sustitución trigonométrica:

Al realizar la sustitución trigonométrica, pasamos de integrar con respecto a x, para integrar con respecto a t, por lo que los límites de integración también se ven afectados y hay que pasarlos a la variable t:

En primer lugar, sustituimos la x por -2 y despejamos la t:

Y hacemos lo mismo sustituyendo la x por 2:

Teniendo en cuenta los nuevos límites y susituyendo x y dx por sus nuevos valores en función de t, la integral nos queda:

Resolvemos el cuadrado del seno:

Sacamos factor común al 4 dentro del paréntesis:

En este punto, aplicamos el siguiente cambio trigonométrico:

Y la integral queda de la siguiente forma:

Pasamos la forma exponencial del paréntesis a raíz:

Resolvemos los cubos que quedan dentro de la raíz:

Y ahora resolvemos la raíz

Agrupamos términos semejantes y sacamos la constante fuera de la integral:

Una vez más, vamos a llamar a este paso “paso 2” para volver luego aquí y nos vamos a centrar en resolver la integral, pero esta vez sin límites de integración. Nos quedamos con la siguiente integral:

Esta integral se resuelve por partes y para ello, la vamos a dividir en dos factores de esta forma:

Para que la función a integrar sea cos t.dt y el resto sea la función a integrar. Integramos f’ y derivamos g:

Aplicamos la fórmula del método de resolución por partes y queda:

Dentro de la integral, operamos y agrupamos términos semejantes:

Sacamos el signo menos y la constante fuera de la integral:

Y aplicamos de nuevo un cambio trigonométrico, que es el siguiente:

Lo sustituimos en la integral y queda:

Separamos la integral en dos sumandos:

Sacamos la constante fuera de cada integral:

Y por último integramos cada integral por el método de las integrales inmediatas:

Sacamos factor común a la fracción 1/8 que queda multiplicada por el 3:

Volvemos al “paso 2”:

Y sustituimos la integral por su resultado antes de aplicar al regla de Barrow:

Y ahora volvemos al “paso 1”

Y sustituimos la integral por el resultado que acabamos de obtener para el “paso 2”:

Ahora vamos a terminar de aplicar la regla de Barrow.

Al sustituir dentro del corchete la t por el límite superior nos queda:

Sustituimos ahora la t por el límite inferior y nos queda:

Restamos ambos resultados:

Operamos y nos queda una raíz en el denominador:

Que racionalizamos para obtener por fin el volumen del sólido que estábamos buscando, que está en unidades cúbicas al ser un volumen:

Como ves, para poder calcular el volumen de un sólido con integrales dobles, hay que conocer previamente los métodos de integración y tener muy claro cómo obtener los límites de integración.

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