A continuación te voy a explicar cómo calcular el área de un paralelogramo con vectores, con un ejercicio resuelto paso a paso.
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Área de un paralelogramo
El área de un paralelogramo se calcula multiplicando su base por la altura:
Nos basaremos en esta fórmula para poder calcular el área de un paralelogramo con vectores, que es lo que veremos en el siguiente apartado.
Área de un paralelogramo con vectores
Vamos a ver ahora cómo calcular el área de un paralelogramo mediante vectores, es decir, un paralelogramo formado a partir de dos vectores:
En este caso, la base coincide con el módulo del vector u:
Y la altura la podemos calcular como el módulo del vector v por el seno del ángulo que forman ambos vectores:
Por tanto, si sustituimos b y h por las expresiones que acabamos de obtener, el área del paralelogramo se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
Por otro lado, esta expresión coincide con el módulo del producto vectorial de los dos vectores:
Por lo que otra forma de calcular el área del paralelogramo es con el módulo del producto vectorial de ambos vectores:
Ejercicio resuelto de calcular el área del paralelogramo
Vamos a resolver un ejercicio para aplicar todo lo que te acabo de explicar.
Calcular el área de un paralelogramo determinado por los siguientes vectores:
En primer lugar, vamos a calcularlo utilizando la primera expresión:
Calculamos el módulo del vector u:
Calculamos el módulo del vector v:
Y por último calculamos el ángulo entre los vectores, a partir del producto escalar:
Para ello, obtenemos el producto escalar:
Y finalmente obtenemos el ángulo:
Una vez tenemos el ángulo, ya podemos calcular el área del paralelogramo:
Ahora vamos a calcular el área del paralelogramo utilizando la fórmula del producto vectorial:
Calculamos el producto vectorial entre u y v, que aunque son vectores de dos dimensiones, el producto vectorial se calcula con vectores de tres dimensiones, por lo que en nuestro caso, en la tercera dimensión ponemos cero:
Por último, calculamos el módulo del producto vectorial, que será el área del paralelogramo, cuyo resultado es el mismo que obtuvimos con la otra fórmula, como no podía ser de otra forma:
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