Cómo calcular el área delimitada entre dos funciones. Ejercicios resueltos

En esta lección te voy a explicar cómo calcular el área encerrada entre dos funciones mediante integrales definidas. Veremos cuál es el procedimiento a seguir, con ejercicios resueltos paso a paso.

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Cálculo del área encerrada por dos funciones

El área encerrada por dos funciones f(x) y g(x) viene determinada por la siguiente fórmula:

Donde los límites de integración “a” y “b” corresponden a los puntos de corte entre ambas funciones. Además f(x) debe ser mayor o igual que g(x):

Que una función sea mayor que otra significa que para el mismo rango de valores de x, el valor de la función es mayor y por tanto su gráfica queda representada por encima en los ejes de coordenadas.

Si representamos gráficamente ambas funciones, la función f(x) queda por encima de g(x) y el área encerrada por ambas curvas es el área calculada por la fórmula anterior:

Lo que realmente hacemos cuando calculamos el área limitada entre dos funciones aplicando esta fórmula es obtener el área que hay por debajo de una determinada función en un intervalo de valores de x y restarle el área que tiene por debajo otra función menor, en el mismo intervalo, quedando como resultado el área encerrada entre las dos funciones.

Procedimiento para calcular el área limitada entre dos funciones

Para calcular el área limitada entre dos funciones se sigue el siguiente procedimiento:

  1. Se calculan los puntos de corte entre ambas funciones. Para ello, se igualan las funciones y se resuelve la ecuación resultante. El resultado obtenido corresponde a los límites de integración.
  2. Determinar cuál de las dos funciones es mayor, es decir, cuál queda por encima gráficamente. Esto lo podemos obtener representando ambas funciones, que además nos dará una idea más visual del área que queremos calcular.
  3. Aplicar la fórmula, restando la integral de la función mayor, menos la integral de la función menor, entre los límites de integración calculados en el puto 1.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Calcular el área delimitada por las siguientes funciones:

En primer lugar, calculamos los puntos de corte de las funciones. Igualamos ambas funciones y nos queda la siguiente ecuación:

Es una ecuación de segundo grado. Primero reducimos a común denominador:

Y eliminamos los denominadores en ambos miembros:

Pasamos todos los términos al primer miembro, quedando el segundo miembro igual a cero, operamos y reordenamos términos:

Resolvemos la ecuación de segundo grado completa, que nos dan las siguientes soluciones:

Por tanto, las funciones se cortan en esos dos valores de x.

Ahora pasamos a representar cada una de las funciones.

La función f(x) corresponde a una recta (en el curso de funciones, tienes explicado cómo representar rectas) y la función g(x), corresponde a una parábola (en el curso de funciones, también tienes explicado cómo representar funciones de segundo grado):

Vemos que en este caso, la función f(x) queda por encima de la función g(x) entre los valores de x 1/3 y 3, lo que quiere decir que f(x) es mayor que g(x) en ese intervalo.

Por tanto, aplicamos la fórmula restando la integral de f(x) menos la integral de g(x), cada una entre los límites de integración que son 1/3 y 3:

La resta de dos integrales de dos funciones la podemos expresar como una única integral donde se realice la resta de funciones, según las propiedades de las integrales:

Sustituimos f(x) y g(x) por sus valores. Ten en cuenca que delante de g(x) tenemos un signo menos, que cambia de signo a todos los términos de g(x), por lo que la dejamos encerrada entre paréntesis:

Ahora eliminamos el paréntesis cambiando de signo los términos que están dentro de él:

Operamos y reordenamos términos:

Pasamos a resolver la integral, dejando el resultado entre corchetes con los límites de integración:

Aplicamos la regla de Barrow, sustituyendo primero la x por 3 en la expresión anterior y restando la misma expresión sustituyendo la x por 1/3:

Y operamos llegando al resultado:

Ejercicios resueltos sobre cálculo del área encerrada entre dos o más funciones

Para que quede todo mucho más claro, vamos a resolver algunos ejercicios sobre cálculo de áreas delimitadas entre funciones.

Ejercicio resuelto 1

Calcula el área encerrada entre las siguientes funciones:

En este caso tenemos tres funciones y nos piden calcular el área delimitada por las tres funciones. El procedimiento a seguir es el mismo que para dos funciones, solo que debemos tener en cuenta cuál de las tres funciones es la mayor y saber en qué puntos se cortan.

Vamos a verlo paso a paso.

En primer lugar, tenemos que calcular los puntos de corte de dos en dos funciones. Empezamos con la primera y la segunda función:

Igualamos las funciones:

Pasamos los términos con x al primer miembro, que este caso son los dos términos que tenemos:

Cuya solución es:

Lo que quiere decir que f(x) y g(x) se cortan en el valor x=0.

Seguimos con la primera y la tercera función:

Igualamos las funciones:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Nos queda una ecuación de segundo grado incompleta. Sacamos factor común a la x:

Y resolvemos, dando como solución:

Es decir, la función f(x) y h(x) se cortan en los valores x=0 y x=1.

Por último, calculamos los puntos de corte entre la segunda y la tercera función:

Igualamos las funciones:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

De nuevo, es una ecuación de segundo grado incompleta. Sacamos factor común a la x para resolverla:

Cuyas soluciones son:

Representamos las tres funciones para tener una idea visual del ejercicio y comprobamos que los puntos de corte entre las funciones son los que acabamos de calcular:

Para obtener el área encerrada, se trata de ir viendo qué función es mayor y cuál está por debajo en función de los límites de integración.

En este caso, la mayor función es g(x), que está limitada entre x=0 por las funciones f(x) y h(x) y x=2 por la función h(x). A esa área, tendremos que restarle el área de f(x) entre x=0 y x=1, que es la que está justo debajo entre esos valores de x y el área de h(x) entre x=1 y x=2, que es la función que está por debajo entre esos valores:

Sustituimos cada expresión por su valor:

Integramos dejando el resultado entre corchetes con los límites de integración:

Aplicamos la regla de Barrow para cada corchete:

Y finalmente operamos para llegar a la solución:

Ejercicio resuelto 2

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las siguientes funciones:

Empezamos calculando los puntos de corte. Para ello igualamos las funciones:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Operamos y reordenamos términos:

Nos queda una ecuación de segundo grado completa, cuyas soluciones son:

Lo que quiere decir que las funciones se cortan en los valores x=1 y x=5.

Representamos ambas funciones gráficamente:

Vemos que parte del área está por encima del eje x y parte está por debajo. En estos casos, no influye que el área esté por encima o por debajo del eje x. El área siempre saldrá positiva.

La mayor función es g(x), por lo que al área que se encuentra por debajo de g(x) entre x=1 y x=5, le restamos el área limitada entre x=1 y x=5 de f(x):

Sustituimos ambas funciones por su expresión:

Unimos ambas integrales en una sola:

Integramos, dejando el resultado entre corchetes con los límites de integración:

Aplicamos la regla de Barrow:

Y finalmente operamos para llegar al resultado final:

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