A continuación te voy a explicar cómo calcular la distancia de un punto a una recta y también cómo calcular la distancia entre dos rectas paralelas. Lo veremos con ejercicios resueltos paso a paso.
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Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta que existe entre ese punto y la recta.
¿Y cuál es esa distancia más corta?
Pues es la longitud que tiene un segmento trazado desde el punto y que es perpendicular a la recta:
Por tanto, si consideramos un punto P, con coordenadas X0 e Y0:
Y la ecuación de una recta cualquiera en su forma general:
La distancia de un punto a una recta se calcula con la siguiente fórmula:
Donde X0 e Y0 son las coordenadas del punto y A, B y C son los coeficientes de la ecuación de la recta en su forma general.
La fórmula está encerrada entre barras de valor absoluto, ya que al estar calculando una distancia, el resultado siempre debe ser positivo.
El resultado estará en unidades, al estar calculando una distancia.
Es un paso vital y por eso quiero que quede muy claro.
Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular la distancia de un punto a una recta:
Calcular la distancia del punto P (1,3) a la recta r, que tiene como ecuación 2x-3y+1=0.
Tenemos el punto P:
Y la recta:
Que ya está en su ecuación general, por lo que ya está todo listo para aplicar directamente fórmula de la distancia de un punto a una recta:
Sustituimos X0 e Y0 por las coordenadas de la recta, que son 1 y 3 respectivamente (lo marco en azul en la fórmula) y los coeficientes A, B y C, por 2, -3 y 1 respectivamente (lo marco en rojo en la fórmula) y nos queda:
Ahora operamos y llegamos al resultado, que hay que darlo en unidades, ya que hemos calculado una distancia:
En este caso, la operación salía negativa, pero al estar en valor absoluto, se vuelve positiva.
¿Qué pasa si la distancia de un punto a una recta es cero?
Si la distancia de un punto a una recta es cero quiere decir que el punto pertenece a la recta:
Distancia entre dos rectas paralelas
Como consecuencia del calculo de un punto a una recta, podemos calcular la distancia entre dos rectas paralelas.
Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, sólo tenemos que tomar un punto cualquiera de una de las rectas y calcular la distancia a la otra recta.
Como ves, la hacerlo así, volvemos a estar en el caso de calcular la distancia de un punto a una recta, por lo que se utiliza la fórmula vista anteriormente:
Vamos a ver un ejemplo:
Halla la distancia entre las rectas paralelas r: 2x+3y-5=0 y s: 2x+3y+8=0
Tenemos la recta r:
Y la recta s:
Para calcular la distancia entre estas dos rectas, vamos a obtener un punto de la primera recta (recta r) y después calcularemos la distancia de ese punto a la otra recta (recta s). También se podría hacer al revés.
Para obtener un punto que pertenezca a la recta r, damos un valor cualquiera a la x. Yo por ejemplo le daré el valor x=1:
Ahora sustituimos el valor de x por 1 en la ecuación de la recta:
Operamos y despejamos la y:
Cuyo resultado es:
Por tanto, el punto que acabos de obtener, que pertenece a la recta r es:
Calcularemos la distancia de ese punto a la recta s:
Mediante la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
Sustituimos X0 e Y0 por las coordenadas del punto y A, B y C por los coeficientes de la recta:
Y operamos:
Las rectas están a una distancia de 5,26 unidades.
Ejercicios resueltos sobre el cálculo de la distancia de un punto a una recta
Vamos a ver ahora unos cuantos ejercicios para que te quede más claro cómo calcular la distancia de un punto a una recta.
Ejercicio 1
¿Cuál es la distancia del punto P (2,5) a la recta x=3?
Tenemos el punto P:
Y la recta:
Para poder aplicar al fórmula, debemos convertir la ecuación de la recta a su forma general.
Para ello, simplemente pasamos todos los términos al primer miembro dejando el segundo miembro igual a cero:
Ya tenemos la ecuación general de la recta.
Ahora en la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta:
Sustituimos X0 e Y0 por las coordenadas del punto, que son 2 y 5 y los coeficientes A, B y C de la recta, que en este caso son 1, 0 y -3, respectivamente:
Finalmente operamos, obteniendo la solución:
Ejercicio 2
¿Cuál es la distancia entre el punto P (1,2) y la recta x+2y=5?
Tenemos el punto P:
Y la ecuación de la recta:
Que no está en su forma general.
Para convertirla a su forma general, pasamos todos los términos al primer miembro:
Ahora sustituimos las coordenadas del punto y los coeficientes de la ecuación de la recta en la fórmula y nos queda:
Donde operamos para llegar a la solución:
En este caso, la distancia es cero, lo que significa que el punto P pertenece a la recta.
Vamos a comprobar que esto es así. Para ello, sustituimos x e «y» de la ecuación de la recta por las coordenadas del punto:
Operamos y comprobamos que se cumple la igualdad:
Lo que significa que, efectivamente, el punto P es un punto de la recta.
Ejercicio 3
Halla la ecuación de una recta que está a 5 unidades de distancia de la recta r: x-3y-3=0.
Tenemos la siguiente recta:
Todas las rectas paralelas a esa recta tendrán la siguiente forma:
Por tanto, el problema se reduce a calcular el valor de k y para ello utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto de la recta r a la recta s, ya que sabemos que es igual a 5 unidades.
En este caso, obtendremos 2 rectas que distan 5 unidades de r, una por encima y otra por debajo.
Empezamos obteniendo un punto que pertenezca a la recta r y para hacerlo, damos un valor cualquiera a x y calculamos «y». Yo le voy a dar a el valor x=0 y con este valor calculo el valor de «y»:
Por tanto, un punto de la recta r es A (0,-1):
Ahora, utilizo la fórmula de la distancia de un punto a una recta, sabiendo que la distancia es 5, la recta es x-3y+k=0 y el punto es A (0,-1):
Sustituyo los valores y me queda lo siguiente (el valor absoluto de la fórmula lo podemos dejar sólo en el numerador, ya que la raíz cuadrada siempre va a ser positiva):
Operamos:
Y despejamos el valor absoluto:
Del valor absoluto obtenemos dos ecuaciones: una cuando el contenido del valor absoluto es positivo y otra cuando es negativo.
Cuando el contenido del valor absoluto es positivo me queda:
Despejamos k:
Por lo que una ecuación de la recta que dista 5 unidades de r es:
Cuando el contenido del valor absoluto es negativo me queda:
Despejamos k:
Y la otra ecuación de la recta que dista 5 unidades de r es:
La dificultad de este tipo de ejercicios radica en convertir la ecuación de la recta a su forma general y luego sustituir correctamente los datos en la fórmula.
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