Cómo multiplicar matrices. Ejemplo resuelto paso a paso

¿Quieres aprender cómo multiplicar matrices paso a paso? A continuación te voy a explicar cómo se hace el producto de matrices.

Al contrario que ocurre con los números, que podemos multiplicar cualquiera de ellos, no podemos multiplicar cualquier matriz.

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Cómo multiplicar matrices

Para multiplicar dos matrices, se debe cumplir una condición muy importante:

El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Para definir las dimensiones de una matriz, 2×2, 3×3, 3×2… la primera dimensión hace referencia a las filas de la matriz y la segunda dimensión a las columnas:

cómo multiplicar matrices

Por tanto, si tenemos una matriz A de m filas y n columnas, sólo la podremos multiplicar por una matriz B que tenga n filas y p columnas (mismo número de columnas de A, que de filas de B):

como se multiplican matrices

La matriz resultante tendrá el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.

De todas formas, no tienes que aprenderte esto de memoria para saber cómo multiplicar matrices. Sólo tienes que quedarte con que no se pueden multiplicar cualquier matriz. Siempre deben cumplir la condición anterior y que la matriz resultante, tendrá unas dimensiones distintas a las dos matrices que se multiplican.

Multiplicación de matrices: Ejercicio resuelto paso a paso

Vamos a ver cómo multiplicar matrices con un ejercicio. Sean las matrices A y B las siguientes:

multiplicar matrices

Multiplicar AxB.

En primer lugar, ¿pueden multiplicarse AxB?

Nos tenemos que fijar en las columnas de A y en las filas de B. La matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 3 filas. Son iguales y por tanto se pueden multiplicar.

multiplicación de matrices paso a paso

Para multiplicar dos matrices, debemos multiplicar cada fila de la primera matriz, por cada columna de la segunda matriz.

Se multiplican filas por columnas

Vamos a verlo paso a paso.

En primer lugar multiplicamos la primera fila de A, por la primera columna de B. Se realiza un producto escalar, es decir, se van multiplicando los elementos de la fila y de la columna y sus resultados se van sumando de la siguiente forma:

El primer elemento de la fila por el primer elemento de la columna

…más…

el segundo elemento de la fila por el segundo elemento de la columna

…más…

…el tercer elemento de la fila por el tercer elemento de la columna.

Esta operación, que es el resultado de multiplicar la primera fila por la primera columna, formará primer elemento de la primera fila de la matriz resultante:

multiplicacion de matrices ejercicios resueltos paso a paso

Seguimos multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de B. Volvemos a multiplicar cada elemento de la fila, por cada elemento de la columna (primero por primero, segundo por segundo y tercero por tercero) y la operación formará el segundo elemento de la primera fila de la matriz resultante:

condición para multiplicar matrices

Hasta ahora hemos multiplicado la primera fila de A por todas las columnas de B. Con sus resultados, hemos formado la primera fila de la matriz resultante.

Repetimos lo mismo con la segunda fila de A, multiplicándola por cada una de las columnas de B.

Seguimos con la segunda fila de A por la primera columna de B, cuyo resultado formará el primer elemento de la segunda fila:

matrices multiplicación

Y para terminar multiplicamos la segunda fila de A por la segunda columna de B, para formar el segundo elemento de la segunda fila:

multiplicación de matrices ejemplos resueltos

Ahora ya hemos multiplicado todas las filas de A por todas las columnas de B y sólo queda realizar las operaciones que nos quedan en cada elemento:

multiplicación de una matriz

Date cuenta que las dimensiones de la matriz resultante son distintas de A y de B (tiene las mismas filas que A y las mismas columnas de B).

Ahora que ya sabes cómo multiplicar matrices, vamos a ver las propiedades del producto de matrices cuadradas.

Propiedades de la multiplicación de matrices cuadradas

1- El producto de matrices cuadradas cumple la propiedad asociativa

multiplicación de matrices ejemplos resueltos

2- El elemento neutro es la matriz identidad

Cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad dará como resultado la misma matriz. La matriz identidad es como si fuera el 1 para los números.

3- La multiplicación de matrices no es conmutativa en general.

Por norma general, la multiplicación de A por B no tiene el mismo resultado que B por A

multiplicar matrices diferentes dimensiones

Puede existir el caso de que A.B=B.A, pero no es lo normal.

4- Es distributiva respecto de la suma

multiplicar dos matrices

5- El producto de dos matrices no nulas puede ser una matriz nula.

Por ejemplo:

ejercicios multiplicación de matrices

6- Dada una matriz cuadrada A, no siempre existirá una matriz inversa que cumpla:

ejercicios de matrices multiplicación

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