Cómo representar la gráfica de una función cualquiera

En esta lección te voy a explicar cómo representar la gráfica de una función cualquiera.

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Normalmente, las funciones que sabemos cómo representar son las funciones elementales, con la ayuda de una tabla de valores, pero para representar gráficamente una función cualquiera, que no sea elemental, debemos analizar una serie de características de la función y representarlas después en los ejes.

Vamos a ver cada una de ellas al mismo tiempo que vamos resolviendo un ejemplo.

Representación gráfica de funciones

Vamos a representar la siguiente función:

Para ello, hay que ir analizando una serie de características de la función, que nos van a ir dando pistas de cómo será la representación gráfica de la función:

1. Dominio

Calculamos el dominio de la función:

De donde obtenemos que:

Y el dominio es:

Con esto sabemos en que puntos la función no existe.

2. Puntos de corte con los ejes

Para saber en qué punto del eje y, corta la gráfica de la función, hacemos x=0 y calculamos el valor de la función en x=0:

cómo representar la gráfica de una función

La función cortará al eje y en el punto (0,2).

Para saber en qué punto del eje x, corta la gráfica de la función, hacemos y=0 y resolvemos la ecuación:

Esta ecuación será 0 cuando su numerador sea 0:

Al no tener solución, la gráfica no corta al eje x en ningún punto.

3. Simetría y periodicidad

La función es par cuando:

Si la función es par, es simétrica con respecto al eje y.

La función es impar cuando:

cómo representar la gráfica de una función

Si una función es impar, es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

Calculamos f(-x), sustituyendo la x por -x en la función y nos queda:

Por otro lado calculamos -f(x):

Vemos que f(-x) no es igual a f(x):

Por tanto, no es par y tampoco es simétrica con respecto al eje y.

f(-x) tampoco es igual a -f(x):

Por tanto, no es impar ni simétrica con respecto al origen de coordenadas.

La función tampoco es periódica, ya que no es un función trigonométrica.

4. Asíntontas

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de la función se va acercando cada vez más a ellas, hasta el infinito, pero que nunca llega a tocar.

Existen tres tipos de asíntotas

Asíntotas horizontales

Existirá una asíntota horizontal en:

Cuando el límite cuando x tiende a infinito sea igual a una constante:

O cuando el límite cuando x tiende a menos infinito sea igual a una constante:

Vamos a ver si nuestra función tiene asíntotas horizontales.

Calculamos el límite de la función cuando x tiende a infinito:

No es igual a ninguna constante, por lo que con esta condición no hemos obtenido ninguna asíntota horizontal.

Vamos a calcular el límite cuando x tiende a menos infinito

Cuyo resultado tampoco es una constante.

Por tanto, nuestra función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas verticales

Existirá una asíntota vertical en:

Si el límite para esa constante k es igual a infinito o a menos infinito:

¿Con qué constante calculamos el límite para comprobar si la función tiene asíntotas verticales?

Con los valores de x que no existen en el dominio. En nuestro caso para x=-1.

Por tanto, calculamos el límite de la función cuando x tiende a -1:

Que puede ser más infinito o menos infinito.

Calculamos sus límites laterales. Cuando x tiende a -1 por la izquierda el límite es igual a menos infinito:

Y el límite cuando x tiende a -1 por la derecha es igual a más infinito

Por tanto en x=-1 tenemos una asíntota vertical:

Vamos a representar en todo lo que esto significa. Representamos la recta x=1 que es la asíntota vertical:

cómo representar la gráfica de una función

Cuando la función se aproxima a esta asíntota por la derecha, tiende a infinito y cuando se aproxima a la asíntota por la izquerda tiende a menos infinito.

Eso lo representamos con dos pequeños trazos de la función de la siguiente forma:

cómo representar la gráfica de una función

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas sólo se calculan cuando no existan asíntotas horizontales.

Por otro lado, para que exista asíntota oblicua, debemos tener una función racional y el grado del numerador debe ser un grado mayor que el grado del denominador.

Son rectas que tienen esta fórmula:

Donde m es:

Y n es:

Como en nuestro caso no hemos tenido ninguna asíntota horizontal, vamos a calcular la asíntota oblicua.

Calculamos m:

cómo representar la gráfica de una función

Y calculamos n:

Sustituimos los valores de m y n en la fórmula de la recta y nos queda:

Que al representarla en los ejes nos queda así:

cómo representar la gráfica de una función

5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ahora vamos a calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la gráfica.

Tal y como te explico en la lección los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función:

Por tanto, vamos a calcular la derivada de la función:

cómo representar la gráfica de una función

Y vamos a estudiar su signo.

Para ello, debemos hallar los valores que hacen 0 la función, de donde también obtendremos los intervalos.

Igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación:

Cuyas soluciones son:

Estas dos soluciones las colocamos en la recta numérica, junto con los valores de x que no pertenecen al dominio, es decir, incluimos también el -1:

Ahora estudiamos su signo, calculando el valor de f'(x) para un punto de cada intervalo y nos queda:

cómo representar la gráfica de una función

 6. Máximos mínimos y puntos de inflexión (extremos relativos)

Los posibles extremos relativos son aquellos que hacen que el valor de la derivada primera de la función sea cero, tal y como te explico en la lección de cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión:

Esos puntos, los hemos calculado en el apartado anterior y son:

Debemos calcular el valor de la derivada segunda de la función en estos dos puntos para comprobar si son máximos, mínimos o puntos de inflexión:

Calculamos la derivada segunda de la función:

Y comprobamos le signo de la derivada segunda para x=0

El valor de la derivada segunda para x=0 es 2, que es mayor que 0, por lo que en x=0 hay un mínimo:

Hacemos lo mismo para x=-2:

El valor de la derivada segunda para x=-2 es -2, que es menor que 0, por lo que en x=0 hay un máximo:

No nos han salido ningún punto de inflexión.

Vamos a calcular los puntos que serían posibles puntos de inflexión, igualando la derivada segunda a 0:

Que no tiene solución, por lo que no existe ningún valor que haga que la derivada segunda sea cero y por tanto, la función no tiene puntos de inflexión. 

7. Concavidad y convexidad

Por último, vamos a obtener en qué intervalos la función es cóncava y qué intervalos es convexa.

Para ello, vamos a estudiar el signo de la derivada segunda de la función:

Para hallar los intervalos, igualamos la derivada segunda a 0, que ya hemos obtenido en el apartado anterior que no tiene solución.

Por tanto, al no tener soluciones obtenidas de igualar la derivada segunda a cero, en la recta numérica colocamos los valores que no pertenecen al dominio, es decir, el punto x=-1:

cómo representar la gráfica de una función

Ahora estudiamos su signo, calculando el valor de f”(x) para un punto de cada intervalo y nos queda:

cómo representar la gráfica de una función

Ya tenemos todos los datos necesarios para poder graficar la función.

Dibujamos los extremos relativos y unimos los trazos de gráfica, sabiendo que no pueden tocar a las asíntotas y sabiendo los tramos en los que son crecientes y decrecientes. Nos quedará una gráfica como ésta:

cómo representar la gráfica de una función

Comprobamos también como del tramo que va desde menos infinito hasta infinito la función es cóncava y en el otro intervalo es convexa.

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