A continuación te voy a explicar cómo representar números irracionales en la recta real, sin usar calculadora. Nos centraremos sobretodo en las raíces que no tienen un resultado entero.
¡Empezamos!
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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
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Cómo representar números irracionales en la recta real
Las raíces más fáciles de representar en la recta real son aquellas cuyo resultado es un número entero, como por ejemplo:
Estos números irracionales quedan representados en el lugar correspondiente a su resultado en la recta real, tal y como se representan los números enteros, ya que por otro lado, son números enteros pero expresados en forma irracional:
Pero, ¿cómo representamos en la recta real los números irracionales cuyo resultado no es un número entero, sin necesidad de utilizar la calculadora?
Para representar una raíz cuyo resultado no sea un número entero, necesitamos un segmento, cuya longitud sea exactamente el resultado de la raíz.
Para conseguir esto, vamos a utilizar el teorema de Pitágoras, el cual nos dice que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos:
Entonces, con el teorema de Pitágoras podemos formar el número irracional a partir de la suma de los cuadrados de dos números.
Por ejemplo, si el cateto mayor mide 3 unidades y el menor mide 2 unidades, la longitud de la hipotenusa de ese triángulo es de raíz de 13 unidades:
Por tanto, gracias a este teorema hemos conseguido representar una línea de longitud igual a raíz de 13 unidades, que puedo trasladar a recta real. Así que, en la recta real, dibujo un segmento horizontal de 2 unidades, que será uno de los catetos del triángulo y en el extremo derecho, a 2 unidades del cero, dibujo un segmento vertical de 3 unidades, que será el otro cateto. Uniendo los extremos de los catetos, acabo de de cerrar el triángulo, cuya hipotenusa es igual a raíz de 13 unidades:
Ahora, para trasladar esa distancia a la recta real, mediante un compás, con centro en el punto 0 y extremo en el final de la hipotenusa, trazamos un arco de circunferencia hasta la recta real. El punto de corte del arco con la recta, será el lugar donde queda representado la raíz de 13:
Cómo expresar las raíces como la suma de los cuadrados de dos números
Hay que tener en cuenta, que existen infinitas formas de expresar un número como la suma de los cuadrados de dos números y además, no siempre es posible que los dos números sean enteros.
Para hallar lo más rápido posible esos dos números, yo te propongo un procedimiento. Una vez lo domines, puedes cambiarlo o utilizar cualquier otro.
Vamosa ver por ejemplo cómo expresar raíz de 5 como suma de los cuadrados de dos números.
En primer lugar, buscamos el mayor número entero al cuadrado que más se acerce a 5 sin pasarse, que en este caso es 2², que es 4:
Ahora, a 5 le restamos el número al cuadrado obtenido en el paso anterior, es decir, realizamos 5 menos 4, cuyo resultado es 1. Eso significa que al 4 que ya tengo, necesito sumarle un número, cuyo cuadrado sea igual a 1. En este caso, el número que necesito es 1²:
Así que raíz de 5 la podemos expresar como raíz de 1² más 2²:
Vamos a ver otro ejemplo para que quede más claro. Esta vez con raíz de 8.
El mayor número entero al cuadrado que más se acerca a 8 es 2², que es 4:
A 8 le restamos 2², lo que nos da como resultado 4. Por tanto, necesitamos un número al cuadrado cuyo resultado sea 4, que es 2²:
Por tanto, raíz de 8 es igual a la raíz de 2² más 2²:
¿Y qué pasa cuando el resultado de la resta sea un número que no corresponda con el cuadrado de ningún número entero? En este caso, dejamos el número en forma de raíz.
Vamos a ver un ejemplo de este caso con raíz de 3:
El mayor número entero al cuadrado que más se acerca a 3 es 1², que es 1:
A 3 le restamos 1², cuyo resultado es 2. No existe un número entero al cuadrado que su resultado sea igual a 2, así que el número que necesitamos es raíz de 2, que al elevarlo al cuadrado es igual a 2:
Por tanto, raíz de 3 es igual a la raíz de raíz de 2 al cuadrado más 1²:
Cómo representar raíz de 2 en la recta real
Vamos a ver cómo respresentar raíz de 2 en la recta real.
En primer lugar, la representamos como la suma de los cuadrados de dos números. La única combinación posible es la raíz de 1² más 1²:
En la recta real, dibujo un segmento horizontal de 1 unidad y en su extremo derecho, otro segmento verical de otra unidad, correspondientes a los catetos del triángulo. Por último dibujamos la hipontenusa, que será igual a raíz de 2 unidades:
Trasladamos esa distancia a la recta real. Con el compás, con centro en el punto 0 y extremo en el final de la hipotenusa, trazamos un arco hasta cortar a la recta real, que será el punto donde queda representada la raíz de 2:
Cómo representar raíz de 3 en la recta real
¿Cómo se representa raíz de 3 en la recta numérica?
Hemos visto más arriba que raíz de 3 es igual a la raíz de raíz de 2 al cuadrado más 1²:
Por tanto, para poder representar raíz de 3, antes tenemos que representar raíz de 2, tal y como hemos hecho en el apartado anterior:
Luego, en el lugar de raíz de 2, trazamos el segmento vertical de una unidad, para poder trazar la hipotenusa de raíz de 3 unidades de longitud:
Trasladamos esa distancia a la recta, con el compás, con centro en el punto 0 y extremo en el final de la hipotenusa:
Cómo representar raíz de 6 en la recta real
Vamos a seguir con la explicación de cómo se representa la raíz de 6 en la recta.
Empezamos expresando raíz de 6 como la raíz de la suma de los cuadrados de dos números. El mayor número entero al cuadrado que más se acerca a 6 es 2², que es 4:
A 6 le restamos 2², lo que nos da como resultado 2. Así que necesito un número cuyo cuadrado sea 2, que solo puede ser raíz de 2:
Por tanto, raíz de 6 es igual a la raíz de raíz de 2 al cuadrado más 2²:
Para representarla en la recta real, primero representamos raíz de 2:
En el lugar de raíz de 2, trazamos el segmento vertical de 2 unidades de longitud y la hipotenusa de raíz de 6 unidades y traladamos esa longitud a la recta real con el compás:
Cómo representar raíz de 11 en la recta real
Seguimos viendo cómo representar raíz de 11 en la recta real.
Primero expresamos la raíz de 11 como la raíz de la suma de los cuadrados de dos números. El mayor número entero al cuadrado que más se acerca a 11 es 3², cuyo resultado es 9:
A 11 le restamos 3², lo que nos da como resultado 2. Así que, el número que elevado al cuadrado es 2, es raíz de 2:
Raíz de 11 es igual a la raíz de raíz de 2 al cuadrado más 3²:
Empezamos representando raíz de 2:
En el lugar de raíz de 2, trazamos el segmento vertical de 3 unidades de longitud y la hipotenusa, que tendrá una longitud de raíz de 11 unidades, con el fin de trasladar esa longitud a la recta real con un arco de circunferencia:
Cómo representar raíz de 12 en la recta real
¿Cómo se representa raíz de 12 en la recta numérica?
El mayor número entero al cuadrado más próximo a 12 es 3², cuyo resultado es 9:
A 12 le restamos 3², cuyo resultado 3. Necesitamos un número que elevado al cuadrado sea 3, que sólo puede ser raíz de 3:
Raíz de 12 es igual a la raíz de raíz de 3 al cuadrado más 3²:
Para poder representar raíz de 3, necesitamos representar antes raíz de 2:
A partir de raíz de 2, representamos raíz de 3:
Por último, en la posición de raíz de 3, trazamos el segmento vertical de 3 unidades de longitud y la hipotenusa, que tendrá una longitud de raíz de 12 unidades, para trasladarla a la recta numérica mediante el compás:
Cómo representar raíz de 21 en la recta real
Como último ejemplo, vamos a representar raíz de 21 en la recta numérica.
El mayor número entero, que elevado al cuadrado se aproxima más a 21 es 4², que es igual a 16:
21 menos 4², es igual a 5, así que necesitamos un número que elevado al cuadrado sea igual a 5. Ese número sólo puede ser raíz de 5:
Raíz de 21 es igual a la raíz de raíz de 5 al cuadrado más 4²:
Representamos primero raíz de 5:
En la posición de raíz de 5, trazamos el segmento vertical de longitud igual a 4 unidadesy la hipotenusa, con tendrá una longitud de raíz de 21 unidades, que con ayuda del compás la trasladamos a la recta real:
Ejercicios propuestos de representación de raíces en la recta real
Ejercicio 1
Representa raíz de 7 en la recta real.
Ejercicio 2
Representa raíz de 15 en la recta real.
Ejercicio 3
Representa raíz de 27 en la recta real.
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