Como representar una función de segundo grado paso a paso. Ejemplos

A continuación te voy a explicar cómo representar una función de segundo grado en los ejes de coordenadas paso por paso.

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Para representar una función de segundo grado, necesitas saber qué forma va a tener la función para poder encontrar los puntos clave que te determinarán el trazado de la función

¿Cuáles son esos puntos y como se obtienen?

Vamos a ir viéndolo poco a poco.

¿Qué forma tiene una función de segundo grado?

Antes de empezar a representar una función de segundo grado, debes saber qué forma va a tener.

Las funciones de segundo grado tienen forma de parábola, que puede ir con el vértice hacia arriba:

funciones de segundo grado

O con el vértice hacia abajo:

funcion de segundo grado

Que la parábola esté con el vértice hacia arriba o hacia abajo dependerá de los signos del coeficiente “a” de la función de segundo grado:

funciones de segundo grado ejemplos

Cualquier función de segundo grado, ya sea completa o incompleta, va a tener forma de parábola. Será distinta en cada caso (más abierta, menos abierta, con el vértice situado en un puno diferente…) pero siempre será una parábola.

Qué puntos se necesitan para representar una función de segundo grado

Ahora que ya sabes que las funciones de segundo grado tienen forma de parábola, te va a ser mucho más fácil representarlas.

Pero… ¿por donde empezar a representar una función de segundo grado?

Para representar una función en los ejes de coordenadas necesitas realizar una tabla de valores y hallar una serie de puntos, para que al unirlos después, podamos representar esa función.

Esos puntos se obtienen, eligiendo valores de x y calculando los valores de “y” que les corresponden (si no sabes bien como hacerlo, en el ejemplo de más abajo te lo explico).

En el caso de las funciones de segundo grado, no podemos elegir cualquier valor de x para obtener los puntos que definan la función, ya que nos encontraríamos perdidos y no sabríamos la forma exacta de la parábola.

Hay que calcular los puntos de la parábola siguiendo un criterio, que nos permitan después dibujar la parábola al unirlos.

Por eso, el primer punto que necesitamos es el vértice de la parábola.

Una vez tenemos ese punto, podemos darle dos o tres valores de x a la derecha del vértice y calcular el valor de y, con lo que tendríamos dos o tres puntos más a la derecha del vértice y hacer lo mismo por la izquierda.

Finalmente tendremos unos 5 o 7 puntos que definirán la parábola que estamos buscando perfectamente.

Esto te lo cuento para que tengas una idea global. Lo veremos más al detalle con un ejemplo resuelto paso a paso.

Coordenadas del vértice la parábola

Como te he comentado antes, el vértice es el primer punto que tienes que obtener a la hora de representar una función de segundo grado.

Y te preguntarás ¿cómo saber qué coordenadas tiene el vértice?

Pues vamos a verlo.

La coordenada x del vértice, viene determinada por la fórmula:

funcion de segundo grado ejemplos

Donde a y b son los coeficientes de la función de segundo grado:

ejemplos de funciones de segundo grado

Para calcular la coordenada “y” del vértice, sólo tenemos que sustituir el valor de x obtenido en la función de segundo grado y operar.

Vamos a verlo con un ejemplo: Obtener las coordenadas del vértice de la siguiente función de segundo grado:

como representar una parabola

Empezamos calculando la coordenada x del vértice con la fórmula:

funciones de segundo grado ejercicios

En esta función de segundo grado los coeficientes a y b son 1 y -1 respectivamente:

representar ecuaciones de segundo grado

Por tanto, sustituimos esos dos valores en la fórmula y operamos:

representacion de funciones de segundo grado

La coordenada x del vértice es 0,5.

Vamos a calcular ahora la coordenada “y” del vértice.

Por si no lo sabías, la coordenada “y” del vértice es lo mismo que f(x):

representar parabolas

Por lo que la función también la podemos expresar como:

representacion grafica de ecuaciones de segundo grado ejercicios

En al expresión anterior, sustituimos la x por la coordenada x del vértice que calculamos con la fórmula:

funcion de segundo grado ejercicios con grafica

Y operamos:

representacion grafica de ecuaciones de segundo grado

La coordenada “y” del vértice es -2,25.

Por tanto, las coordenadas del vértice, al que llamaremos punto V son:

representacion grafica de una ecuacion de segundo grado

Ejemplo de representación de una función cuadrática

Vamos a representar la función de segundo grado del ejemplo anterior:

funciones de 2 grado

Seguiremos obteniendo puntos, en una tabla de valores, que la construiremos siguiendo un criterio. Finalmente representaremos los puntos obtenidos y al unirlos, tendremos representada la función de segundo grado en los ejes de coordenadas.

Construyendo la tabla de valores

Una tabla de valores, es una tabla donde se recogen los puntos que se necesitan para dibujar una función.

Los valores de x se van eligiendo y los valores de “y” se van calculando, sustituyendo cada valor de x elegido en la función.

Vamos a verlo paso a paso para nuestra función de segundo grado.

El primer punto que tenemos es el vértice de la parábola, que lo calculamos anteriormente. Para el valor de x=0,5, calculamos un valor de y=-2,25. Lo ponemos en nuestra tabla de valores:

como representar una funcion cuadratica

Una vez tenemos el vértice, vamos a darle a la x, tres valores mayores que el valor x del vértice, es decir, que se queden a la derecha en la recta numérica, como por ejemplo 1, 2 y 3:

representar funcion cuadratica

Ahora, calculamos el valor de “y”, para cada valor de x elegido, sustituyendo cada valor en la función:

representacion ecuaciones segundo grado

Ahora le damos a la x otros tres valores menores que el valor x del vértice, es decir, que se queden por la izquierda en la recta numérica, como por ejemplo 0, -1 y -2:

parabolas de segundo grado

Y calculamos el valor de “y” para cada uno de estos valores de x:

funciones de 2do grado

Ahora vamos a representar todos los puntos en los ejes de coordenadas. Empezamos por el vértice:

ecuaciones de segundo grado representacion grafica

Seguimos por los tres puntos que quedan a su derecha y por los otros tres que queda a su izquierda:

funcion cuadratica de segundo grado

Ya se intuye la forma de la parábola.

Finalmente, unimos los puntos y tendremos representada la función de segundo grado:

funcion segundo grado

¿Por qué hemos empezado por el vértice y luego hemos dado puntos a su izquierda y a su derecha?

La parábola es una función simétrica. Al empezar por el vértice, tenemos el punto que nos vale como referencia. Al saber que estamos dibujando una parábola necesitamos saber cómo será esa parábola a ambos lados del vértice y por eso buscamos puntos a la derecha y a la izquierda.

Este método de dibujar funciones de segundo grado, es válido tanto para funciones completas como incompletas. Si te das cuenta, tan solo dependemos de los parámetros a y b, que son los que marcan el vértice.

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