Cómo resolver ecuaciones matriciales. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar qué son y cómo se resuelven las ecuaciones matriciales. Te diré todo lo que tienes que tener en cuenta y resolveremos ecuaciones matriciales paso a paso.

¡Vamos allá!

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Qué son las ecuaciones matriciales y cómo se resuelven

Las ecuaciones matriciales son aquellas en la que todos sus componentes son matrices.

Para resolver las ecuaciones matriciales hay que despejar la matriz X, pero teniendo en cuenta las propiedades de la multiplicación de matrices, como:

  • La multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa, por lo que el resultado de A.B no es el mismo que B.A:

  • El elemento neutro de las matrices es la matriz identidad, es decir, al multiplicar una matriz por la matriz identidad, el resultado es la misma matriz:

  • Si multiplicamos una matriz por su inversa, por la izquierda o por la derecha, su resultado es la matriz identidad:

La forma de despejar la matriz X NO es pasar la matriz que tiene multiplicando al miembro contrario dividiendo:

Sino que para despejar la matriz X hay que seguir el siguiente procedimiento:

  1. Pasar al otro miembro los términos que estén sumando o restando al término que contenga la matriz X. El objetivo es dejar sólo el término que contiene a la matriz X.
  2. Multiplicar la matriz que esté multiplicando a la matriz X por su inversa, por el lado contrario a donde esté la matriz X.
  3. Multiplicar el otro miembro por la misma matriz identidad, por el mimo lado que se ha multiplicado en el miembro donde se encuentra la matriz X
  4. Sustituir por la matriz identidad el producto de una matriz por su inversa
  5. Gracias al paso anterior, la matriz X queda multiplicada por la matriz identidad
  6. La matriz identidad multiplicado por la matriz X, es igual a la matriz X, por la propiedad que hemos comentado anteriormente, por lo que la matriz X queda despejada
  7. Hallar el valor de la matriz X, realizando la operación de matrices que queda en el miembro contrario.

Para resolver las ecuaciones matriciales es muy importante dominar perfectamente las operaciones con matrices, como la suma y la resta de matrices y la multiplicación de matrices. También es fundamental saber calcular la inversa de una matriz. Todo eso lo tienes explicado paso a paso en el Curso de Matrices.

Vamos a verlo más despacio resolviendo ecuaciones matriciales paso a paso.

Ecuaciones matriciales resueltas paso a paso

A continuación, vamos a resolver paso a paso ecuaciones matriciales, explicando cada uno de los pasos. No me voy a detener en realizar cada operación ya que lo tienes explicado con más detalle dentro del curso. Nos centraremos en los pasos más importantes para resolver las ecuaciones matriciales.

Ecuación matricial 1

Resuelve la siguiente ecuación matricial:

Donde las matrices A y B son:

En este caso, ya tenemos el término que contiene a la matriz X sólo en el primer miembro, por lo que el siguiente paso es conseguir que desaparezca la matriz A, que lo está multiplicando.

Para ello, debemos multiplicar la matriz A por su inversa, pero hay que multiplicarla por el lado izquierdo (ya que por el derecho está la matriz X). Como esa matriz inversa la hemos añadido nosotros, el segundo miembro también lo tenemos que multiplicar por la misma matriz inversa (para seguir cumpliendo la igualdad), teniendo en cuenta que hay que multiplicarlo por el mismo lado que se ha multiplicado en el primer miembro, es decir, en ambos miembros se multiplica por el lado izquierdo:

Teniendo en cuenta que una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad:

Donde tengamos un producto de una matriz por su inversa, lo sustituimos por la matriz identidad, que en este caso lo tenemos en el primer miembro:

La matriz X multiplicada por la matriz identidad es igual a la matriz X:

Por tanto, la matriz identidad desaparece y queda despejada la matriz X:

Una vez despejada la matriz X, vamos a realizar la multiplicación de matrices que nos queda en el segundo miembro.

En primer lugar, hallamos la inversa de la matriz A:

Ahora multiplicamos esa matriz inversa por la matriz B:

Sacamos fuera de la matriz el factor 1/39, por ser común a todos los elementos de la matriz:

Multiplicamos las dos matrices que nos quedan:

Volvemos a multiplicar el factor 1/39 por cada elemento de la matriz, obteniendo así el valor de la matriz X:

Ecuación matricial 2

Resuelve la siguiente ecuación matricial:

Donde las matrices A, B y C son:

En primer lugar, tenemos que dejar el término que contiene a la matriz X sólo en el primer miembro. Para ello, pasamos restando la matriz A al segundo miembro:

Ahora multiplicamos el término con la matriz X, por la inversa de B, por la derecha, que es donde está la matriz B. Multiplicamos también el segundo miembro por la inversa de la matriz B, por la derecha, para mantener la igualdad:

Sustituimos por la matriz identidad el producto de la matriz B por su inversa en el primer miembro:

La matriz identidad desaparece, ya que al multiplicar por la matriz identidad, el resultado no varía, quedando despejada la matriz X:

Ahora vamos a hallar el valor de la matriz X.

En primer lugar calculamos el valor de C-A:

Cuyo resultado es:

Después calculamos la inversa de la matriz B:

Y multiplicamos la matriz C-A calculada anteriormente por la inversa de la matriz B:

Por lo que matriz X es igual a:

Ecuación matricial 3

Resuelve la siguiente ecuación matricial:

Donde las matrices A y B son:

En este caso, primero multiplicamos la matriz B por el paréntesis para eliminarlo:

Tenemos la matriz X multiplicada por dos matrices A, para eliminar la matriz A de la izquierda, multiplicamos ese término por la inversa de A, por la izquierda. De la misma forma, para eliminar la matriz A de la derecha, multiplicamos ese término por la inversa de A, por la derecha.

Y para mantener la igualdad, multiplicamos el primer miembro entero por la inversa de A, tanto por la izquierda como por la derecha:

El paréntesis del primer miembro queda multiplicado, por la izquierda y por la derecha, por la matriz inversa de A. Para eliminarlo, hay que multiplicar cada término, por la izquierda y por la derecha, por la matriz inversa de A:

Donde tengamos un producto de la matriz A por su inversa, lo sustituimos por la matriz identidad:

Eliminamos las matrices identidad que estén multiplicando, quedando despejada por tanto la matriz X:

Pasamos a calcular su valor.

Empezamos calculando la matriz inversa de A:

Multiplicamos esa matriz inversa por la matriz B:

Cuyo resultado es:

Multiplicamos la matriz anterior por la matriz inversa de A:

Nos queda:

Y para hallar la matriz X, realizamos la resta de las dos matrices que acabamos de calcular:

Por lo que el valor de la matriz X es:

Ecuación matricial 4

Resuelve la siguiente ecuación matricial:

Donde las matrices A y B son:

En primer lugar dejamos solo el término que contiene a la matriz X en el primer miembro, pasando la matriz B sumando al segundo miembro:

Para conseguir que la matriz X quede multiplicada por la matriz identidad, multiplicamos por la izquierda, por la inversa de la matriz A al cuadrado y hacemos lo mismo en el segundo miembro:

En el segundo miembro, multiplicamos la matriz inversa de A al cuadrado por cada una de las matrices del paréntesis:

Sustituimos el producto de la matriz A² por su inversa por la matriz identidad:

Eliminamos la matriz identidad que está multiplicando a la matriz X. La matriz identidad que queda en el segundo miembro no la podemos eliminar, ya que no está multiplicando a ninguna matriz y por tanto, afecta al resultado final:

Ahora realizamos las operaciones que nos han quedado.

Empezamos calculando la matriz A², que se obtiene multiplicando la matriz A por la propia matriz A:

Cuyo resultado es:

Calculamos la inversa de esa matriz:

La multiplicamos por la matriz B:

Nos queda:

Y para hallar el valor de la matriz X, sumamos la matriz identidad y la matriz que acabamos de calcular:

Siendo el resultado de la matriz X:

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