Cómo resolver problemas de dos ecuaciones con dos incógnitas paso a paso

A continuación te voy a explicar cómo resolver problemas de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Te explicaré con problemas resueltos, cómo plantear el sistema de ecuaciones paso a paso y a interpretar la solución obtenida.

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Procedimiento para resolver problemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

El procedimiento para resolver problemas con dos incógnitas es el siguiente:

  1. Identificar las incógnitas del problema: Debemos saber qué es lo que nos está preguntando el problema
  2. Asignar una variable o letra a cada incógnita: A una de las incógnitas del problema le llamaremos “x” y a la otra de llamaremos “y”.
  3. Plantear ecuaciones traduciendo el enunciado a lenguaje algebraico: Necesitaremos plantear dos ecuaciones a partir del enunciado del problema
  4. Resolver el sistema por el método más adecuado: Una vez tenemos nuestras dos ecuaciones con dos incógnitas, debemos resolver el sistema por el método que resulte más sencillo de resolver, ya sea por el de sustitución, por el de igualación o por el de reducción.
  5. Interpretar la solución: Una vez tenemos la solución del sistema, debemos interpretarla para darle un sentido, obteniendo así la solución del problema

Problemas resueltos de sistemas dos ecuaciones con dos incógnitas

Vamos a ver resolver ahora unos cuantos problemas resueltos con dos incógnitas aplicando el procedimiento descrito anteriormente.

Doy por hecho que saber resolver sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. Si no es tu caso y necesitas a aprender, te recomiendo el Curso de Sistemas de dos Ecuaciones con dos Incógnitas, en el que te enseño paso a paso cómo resolver sistemas por el método de sustitución, el método de igualación y por el método de reducción.

Problema de números

Calcula dos números cuya suma sea 193 y su diferencia 67.

En primer lugar debemos identificar qué es lo que nos pregunta el problema. En este caso, nos pregunta por dos números, por lo que a un número le llamaremos “x” y al otro número le llamaremos “y”:

Ahora, con nuestros números “x” e “y” iremos traduciendo el enunciado a lenguaje algebraico.

La suma de dos números es 193:

La diferencia de dos números es 67:

Tenemos por tanto un sistema dos ecuaciones con dos incógnitas que tenemos que resolver:

Lo resolveré por le método de sustitución.

De la primera ecuación:

Despejo la x:

En la segunda ecuación:

Sustituyo la x por la expresión obtenida anteriormente:

Operamos y despejamos la “y”:

El valor obtenido de “y” lo sustituimos en la expresión donde despejamos la x:

Que nos queda:

Por tanto, los dos números que nos piden son 130 y 63:

Problema de precios

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 € ¿Cuánto cuesta el kilo de peras y el de manzanas?

En este caso nos preguntan por el precio del kilo de peras y por el precio del kilo de manzanas, por lo que a uno le llamamos “x” y al otro le llamamos “y”:

Ahora vamos planteando las ecuaciones traduciendo a lenguaje algebraico el enunciado del problema.

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €: Para calcular el precio total, tenemos que multiplicar los kilos de cada fruta por su precio, que en nuestro caso es “x” e “y”. Nos queda:

Hacemos lo mismo con la expresión del enunciado de cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 €

Ya tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para resolver.

Lo resolveremos por el método de sustitución.

De la primera ecuación:

Despejamos la x:

En la segunda ecuación:

Sustituimos la x por la expresión que acabamos de calcular:

Eliminamos el paréntesis multiplicando el 5 por el numerador de la fracción:

Reducimos a denominador común:

Y eliminamos paréntesis:

Reordenamos términos:

Operamos:

Y despejamos la “y”:

En la expresión obtenida cuando despejamos x:

Sustituimos “y” por su valor numérico y operamos:

La x para nosotros es el precio de peras, por lo que si su valor es 1,2, quiere decir que el precio del kilo de peras es 1,2 €. Lo mismo para “y”. “y” para nosotros es el precio de manzanas por lo que si su valor es 1,8, quiere decir que el precio del kilo de manzanas es de 1,8 €

Problema de capacidades

Una empresa aceitera ha envasado 3000 litros de aceite en 1200 botellas de dos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

Nos preguntan cuántas botellas de cada clase se han utilizado, es decir, la cantidad de botellas de 2 litros y la cantidad de botellas de 5 litros. A una le llamamos “x” y a la otra “y”:

El enunciado nos dice que se han utilizado 1200 botellas, luego al suma de las botellas de cada clase debe ser igual a 1200:

Por otro lado nos dicen que se han envasado 3000 litros. Para calcular los litros, debemos multiplicar el número de botellas de cada clase por los litros de cada botella, lo que nos da lugar a la segunda ecuación:

Debemos resolver el siguiente sistema:

Lo resolveré por sustitución.

De la primera ecuación:

Despejo x:

En la segunda ecuación:

Sustituyo x por la expresión anterior:

Operamos para eliminar el paréntesis:

Reordenamos términos y operamos:

Y despejamos “y”:

En la expresión donde despejamos la x:

Sustituimos “y” por su valor y obtenemos el valor de x:

Por tanto, ya tenemos el número de botellas de 2 litros y de 5 litros que corresponden a los valores de x y de “y” respectivamente:

Problema de beneficios y pérdidas

Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,80 € por cada pieza que sale de un taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,60 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 21000 bombillas, obteniendo unos beneficios de 9688 €. ¿Cuántas bombillas válidas y defectuosas se han fabricado en esa jornada?

Tenemos que calcular el número de bombillas válidas y defectuosas que se fabrican en esa jornada de trabajo, luego al número de bombillas válidas le llamamos “x” y al número de bombillas defectuosas le llamamos “y”

Se fabrican 21000 bombillas, luego la suma de las bombillas válidas más las bombillas defectuosas es igual a 21000:

Por otro lado, multiplicando las bombillas válidas por 0,8 y restando la multiplicación de las bombillas defectuosas por 0,6, obtenemos el beneficio, que el enunciado nos dice que es igual a 9688 €:

Tenemos por tanto nuestro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

El cual lo resolveremos por sustitución.

De la primera ecuación:

Despejamos x:

En la segunda ecuación:

Sustituimos la x por la expresión calculada anteriormente:

Operamos para eliminar el paréntesis:

Reordenamos términos y operamos:

Y despejamos la “y”:

En la ecuación donde despejamos la x:

Sustituimos “y” por su valor numérico y operamos para obtener el valor de x:

Por tanto, las bombillas válidas son 15920 y las bombillas defectuosas son 5080:

Problema de edades

Se sabe que un padre le saca 27 años a su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad ¿Cuántos años tiene cada uno?

Debemos calcular la edad del padre, que le llamaremos “x” y la edad del hijo, que le llamaremos “y”:

De la frase el padre le saca 27 años a su hijo obtenemos la primera ecuación. Como la edad del padre es mayor, debemos sumarle 27 a la edad del hijo para que sean iguales:

Después el enunciado nos dice que dentro de 12 años le doblará la edad.

Primero debemos saber qué edad tendrá cada uno dentro de 12 años y para ello, debemos sumarle 12 a cada edad. Por tanto, dentro de 12 años, cada uno tendrá la siguiente edad:

Ahora traducimos a lenguaje algebraico que la edad del padre sea el doble que la del hijo, pero utilizando las edades que tendrán dentro de 12 años.

Como la edad el padre es mayor que la del hijo, para que sean iguales, a la edad del hijo la tenemos que multiplicar por 2 y nos queda:

Ahora operamos para eliminar el paréntesis:

Y reordenamos términos para obtener la segunda ecuación:

Tenemos que resolver por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:

Ya tenemos la x despejada en la primera ecuación. Por tanto, en la segunda ecuación:

Sustituimos la x por su valor en función de “y”:

Operamos y reordenamos términos:

Y finalmente despejamos “y”:

En la primera ecuación:

Sustitumos el valor de “y”  y operamos, obteniendo el valor de x:

Por tanto, el padre tiene 42 años y el hijo tiene 15 años:

 

 

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