▷ Cómo resolver problemas de sistemas de ecuaciones paso a paso

Cómo resolver problemas de sistemas de ecuaciones paso a paso

A continuación te voy a explicar cómo resolver problemas de sistemas ecuaciones con dos incógnitas. Te explicaré con problemas resueltos, cómo plantear el sistema de ecuaciones paso a paso y a interpretar la solución obtenida.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Procedimiento para resolver problemas de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

El procedimiento para resolver problemas con dos incógnitas es el siguiente:

  1. Identificar las incógnitas del problema: Debemos saber qué es lo que nos está preguntando el problema
  2. Asignar una variable o letra a cada incógnita: A una de las incógnitas del problema le llamaremos “x” y a la otra de llamaremos “y”.
  3. Plantear ecuaciones traduciendo el enunciado a lenguaje algebraico: Necesitaremos plantear dos ecuaciones a partir del enunciado del problema
  4. Resolver el sistema por el método más adecuado: Una vez tenemos nuestras dos ecuaciones con dos incógnitas, debemos resolver el sistema por el método que resulte más sencillo de resolver, ya sea por el de sustitución, por el de igualación o por el de reducción.
  5. Interpretar la solución: Una vez tenemos la solución del sistema, debemos interpretarla para darle un sentido, obteniendo así la solución del problema

Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones dos ecuaciones con dos incógnitas (con solución)

Vamos a ver resolver ahora unos cuantos problemas resueltos con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas aplicando el procedimiento descrito anteriormente.

Doy por hecho que saber resolver sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. Si no es tu caso y necesitas a aprender, te recomiendo el Curso de Sistemas de dos Ecuaciones con dos Incógnitas, en el que te enseño paso a paso cómo resolver sistemas por el método de sustitución, el método de igualación y por el método de reducción.

Problema de números

Calcula dos números cuya suma sea 193 y su diferencia 67.

En primer lugar debemos identificar qué es lo que nos pregunta el problema. En este caso, nos pregunta por dos números, por lo que a un número le llamaremos “x” y al otro número le llamaremos “y”:

problemas de sistemas de ecuaciones con dos incognitas

Ahora, con nuestros números “x” e “y” iremos traduciendo el enunciado a lenguaje algebraico.

La suma de dos números es 193:

problemas de ecuaciones con dos incognitas

La diferencia de dos números es 67:

problemas con dos incognitas

Tenemos por tanto un sistema dos ecuaciones con dos incógnitas que tenemos que resolver:

como resolver ecuaciones con dos incognitas

Lo resolveré por le método de sustitución.

De la primera ecuación:

problemas con 2 incognitas

Despejo la x:

problemas de ecuaciones con 2 incognitas

En la segunda ecuación:

problemas de dos incognitas

Sustituyo la x por la expresión obtenida anteriormente:

problemas de sistemas de ecuaciones

Operamos y despejamos la “y”:

resolver ecuaciones con dos incognitas

problemas de dos ecuaciones con dos incognitas

problemas de ecuaciones de dos incognitas

El valor obtenido de “y” lo sustituimos en la expresión donde despejamos la x:

como resolver una ecuacion con dos incognitas

Que nos queda:

problemas de ecuaciones lineales con dos incognitas

Por tanto, los dos números que nos piden son 130 y 63:

ecuaciones con dos incognitas aplicacion

En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 50 cabezas y 134 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay en la granja?

En este problema nos pregunta por el número de conejos y gallinas. A los conejos le llamamos “x” y a las gallinas “y”:

 problemas con sistema de ecuaciones con dos variables

Nos dice que en total hay 50 cabezas. Como tanto los conejos como las gallinas tienen una cabeza si sumamos el número de conejos más el número de gallinas, es decir, x+y, su resultado es 50, luego ya tenemos la primera ecuación:

resolver una ecuacion con dos incognitas

También nos dice que hay 134 patas. Los conejos tienen 4 patas y las gallinas 2, luego si multiplicamos el número de patas de los conejos por el número de conejos, es decir, 2x y el número de patas de las gallinas por le número de gallinas, es decir, 4y, su resultado es de 134, por tanto, ya tenemos la segunda ecuación:

problemas de ecuaciones con dos incógnitas

Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenemos que resolver:

problemas ecuaciones con dos incognitas

Lo voy a resolver por el método de sustitución.

De la primera ecuación:

resolucion de problemas con dos incognitas

Despejo x:

problemas de 2 ecuaciones con 2 incognitas

En la segunda ecuación:

problemas de sistema de ecuaciones con dos incognitas

Sustituyo x por al expresión obtenida anteriormente:

problemas con ecuaciones de dos incognitas

Elimino el paréntesis multiplicando el 2 por cada uno de los términos del paréntesis:

como resolver problemas con dos incognitas

Opero y reordeno términos:

problemas de ecuaciones con dos variables

Y despejo la “y”:

problemas de ecuaciones con dos incognitas resueltos

En la expresión donde despejé la x:

como resolver ecuaciones con 2 incognitas

Sustituyo el valor de “y” y opero:

resolucion de problemas con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incognitas

Por tanto, x=33 e y=17, lo que quiere decir que hay 33 conejos y 17 gallinas.

Problema de precios

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 € ¿Cuánto cuesta el kilo de peras y el de manzanas?

En este caso nos preguntan por el precio del kilo de peras y por el precio del kilo de manzanas, por lo que a uno le llamamos “x” y al otro le llamamos “y”:

problemas con ecuaciones con dos incognitas

Ahora vamos planteando las ecuaciones traduciendo a lenguaje algebraico el enunciado del problema.

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €: Para calcular el precio total, tenemos que multiplicar los kilos de cada fruta por su precio, que en nuestro caso es “x” e “y”. Nos queda:

ecuaciones con dos incognitas

Hacemos lo mismo con la expresión del enunciado de cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 €

problemas de sistema de ecuaciones con dos variables

Ya tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para resolver.

ecuaciones con dos incógnitas aplicación

Lo resolveremos por el método de sustitución.

De la primera ecuación:

problemas con dos incognitas resueltos

Despejamos la x:

problemas de 2 incognitas

ecuaciones lineales con dos incognitas problemas

En la segunda ecuación:

problemas con dos ecuaciones

Sustituimos la x por la expresión que acabamos de calcular:

problemas de ecuaciones de dos incognitas resueltos

Eliminamos el paréntesis multiplicando el 5 por el numerador de la fracción:

problemas con dos variables

Reducimos a denominador común:

problemas ecuaciones dos incognitas

Y eliminamos paréntesis:

ecuaciones con dos variables

Reordenamos términos:

problemas de ecuaciones dos incognitas

Operamos:

problemas con dos incógnitas

Y despejamos la “y”:

como resolver ecuaciones con dos variables

En la expresión obtenida cuando despejamos x:

como resolver problemas de sistemas de ecuaciones

Sustituimos “y” por su valor numérico y operamos:

como resolver ecuaciones de dos incognitas

La x para nosotros es el precio de peras, por lo que si su valor es 1,2, quiere decir que el precio del kilo de peras es 1,2 €. Lo mismo para “y”. “y” para nosotros es el precio de manzanas por lo que si su valor es 1,8, quiere decir que el precio del kilo de manzanas es de 1,8 €

problemas con incognitas

Problema de capacidades

Una empresa aceitera ha envasado 3000 litros de aceite en 1200 botellas de dos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

Nos preguntan cuántas botellas de cada clase se han utilizado, es decir, la cantidad de botellas de 2 litros y la cantidad de botellas de 5 litros. A una le llamamos “x” y a la otra “y”:

como resolver dos ecuaciones con dos incognitas

El enunciado nos dice que se han utilizado 1200 botellas, luego al suma de las botellas de cada clase debe ser igual a 1200:

ejercicios de ecuaciones con dos incognitas

Por otro lado nos dicen que se han envasado 3000 litros. Para calcular los litros, debemos multiplicar el número de botellas de cada clase por los litros de cada botella, lo que nos da lugar a la segunda ecuación:

resolver ecuaciones de dos incognitas

Debemos resolver el siguiente sistema:

problema con dos incognitas

Lo resolveré por sustitución.

De la primera ecuación:

problemas con ecuaciones lineales con dos incognitas

Despejo x:

problemas de ecuaciones de 2 incognitas

En la segunda ecuación:

problemas de sistemas de ecuaciones con dos incognitas resueltos

Sustituyo x por la expresión anterior:

cómo resolver una ecuación con dos incógnitas

Operamos para eliminar el paréntesis:

problemas de sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas

Reordenamos términos y operamos:

problemas ecuaciones lineales con dos incognitas

Y despejamos “y”:

resolver 2 ecuaciones con 2 incognitas

En la expresión donde despejamos la x:

resolver ecuaciones con 2 incognitas

Sustituimos “y” por su valor y obtenemos el valor de x:

solucion de ecuaciones con dos incognitas

Por tanto, ya tenemos el número de botellas de 2 litros y de 5 litros que corresponden a los valores de x y de “y” respectivamente:

resolver ecuaciones dos incognitas

Problema de beneficios y pérdidas

Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,80 € por cada pieza que sale de un taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,60 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 21000 bombillas, obteniendo unos beneficios de 9688 €. ¿Cuántas bombillas válidas y defectuosas se han fabricado en esa jornada?

Tenemos que calcular el número de bombillas válidas y defectuosas que se fabrican en esa jornada de trabajo, luego al número de bombillas válidas le llamamos “x” y al número de bombillas defectuosas le llamamos “y”

problemas con sistemas de ecuaciones

Se fabrican 21000 bombillas, luego la suma de las bombillas válidas más las bombillas defectuosas es igual a 21000:

problemas ecuaciones 2 incognitas

Por otro lado, multiplicando las bombillas válidas por 0,8 y restando la multiplicación de las bombillas defectuosas por 0,6, obtenemos el beneficio, que el enunciado nos dice que es igual a 9688 €:

ecuaciones con dos incognitas problemas

Tenemos por tanto nuestro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

ecuaciones con dos incognitas solucion algebraica

El cual lo resolveremos por sustitución.

De la primera ecuación:

problemas de ecuaciones lineales con dos incognitas resueltos

Despejamos x:

problemas de sistemas de ecuaciones resueltos

En la segunda ecuación:

como hacer ecuaciones con dos incognitas

Sustituimos la x por la expresión calculada anteriormente:

como resolver problemas de ecuaciones lineales con dos incognitas

Operamos para eliminar el paréntesis:

problemas de dos ecuaciones

Reordenamos términos y operamos:

problemas dos incognitas

Y despejamos la “y”:

ecuaciones con dos incógnitas: aplicación

En la ecuación donde despejamos la x:

como resolver ecuaciones con dos incognitas diferentes

Sustituimos “y” por su valor numérico y operamos para obtener el valor de x:

problemas sistemas de ecuaciones 2 incognitas

Por tanto, las bombillas válidas son 15920 y las bombillas defectuosas son 5080:

resolver ecuaciones con dos incógnitas

Problema de edades

Se sabe que un padre le saca 27 años a su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad ¿Cuántos años tiene cada uno?

Debemos calcular la edad del padre, que le llamaremos “x” y la edad del hijo, que le llamaremos “y”:

problema de sistema de ecuaciones

De la frase el padre le saca 27 años a su hijo obtenemos la primera ecuación. Como la edad del padre es mayor, debemos sumarle 27 a la edad del hijo para que sean iguales:

como hacer una ecuacion con dos incognitas

Después el enunciado nos dice que dentro de 12 años le doblará la edad.

Primero debemos saber qué edad tendrá cada uno dentro de 12 años y para ello, debemos sumarle 12 a cada edad. Por tanto, dentro de 12 años, cada uno tendrá la siguiente edad:

dos ecuaciones con dos incognitas

Ahora traducimos a lenguaje algebraico que la edad del padre sea el doble que la del hijo, pero utilizando las edades que tendrán dentro de 12 años.

Como la edad el padre es mayor que la del hijo, para que sean iguales, a la edad del hijo la tenemos que multiplicar por 2 y nos queda:

problemas con dos variables resueltos

Ahora operamos para eliminar el paréntesis:

sistema de dos ecuaciones con dos incognitas

Y reordenamos términos para obtener la segunda ecuación:

sistema de ecuaciones con dos incognitas

Tenemos que resolver por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:

como se resuelve una ecuacion con dos incognitas

Ya tenemos la x despejada en la primera ecuación. Por tanto, en la segunda ecuación:

ecuaciones con 2 incognitas aplicacion

Sustituimos la x por su valor en función de “y”:

como resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas

Operamos y reordenamos términos:

problemas de edades sistemas de ecuaciones

Y finalmente despejamos “y”:

resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

En la primera ecuación:

resolver dos ecuaciones con dos incognitas

Sustitumos el valor de “y”  y operamos, obteniendo el valor de x:

problemas sistemas de ecuaciones

Por tanto, el padre tiene 42 años y el hijo tiene 15 años:

como encontrar dos incognitas en una ecuacion

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