A continuación vamos a repasar qué son las funciones afín y lineal, veremos cómo se expresan determinadas situaciones con estas funciones y te enseñaré a resolver problemas paso a paso con todo lo aprendido.
¡Empezamos!
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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Función afín
La función afín es aquella cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas:
Su ecuación es:
También podemos escribir f(x) como y:
donde x es la variable independiente (es un valor que puedo elegir), «y» es la variabla dependiente (valor que depende de un cálculo), m es la pendiente de la recta y n es el término independiente u ordenada en el origen y coincide con el valor de «y» la recta corta al eje «y».
Las siguientes funciones son ejemplos de funciones afines:
Cómo expresar situaciones mediante una función afín
Las situaciones que se pueden expresar mediante una función afín son situaciones donde tengamos un valor inicial fijo, al que se le va añadiendo un valor que varía en función de otra variable.
Por ejemplo:
Nos tienen que reparar un electrodoméstico, en casa en el que nos cobran 100 euros de cantidad fija, en concepto de desplazamiento y luego 25 euros por cada hora de trabajo.
Si el operario viene a casa, pero al final no tiene que trabajar ninguna hora, tendremos que pagar la cantidad fija, o lo que es lo mismo, pagaremos la cantidad fija más cero horas de trabajo:
Si la reparación dura una hora, pagaremos la cantidad fija más el precio de una hora:
Si la reparación dura dos horas, pagaremos la cantidad fija más el precio de dos horas:
Si la reparación dura tres horas, pagaremos la cantidad fija más el precio de tres horas:
Y así, sucesivamente.
Es decir, para calcular el precio final de la reparción, a la cantidad fija le tengo que sumar la multiplicación del número de horas por el precio por hora:
Si llamo x al número de horas e «y» al precio de la reparación:
tengo expresada esta situación en con una función afín:
Por tanto, en cualquier situación donde tenga una valor fijo más un valor variable se expresa con una función afín.
Función lineal
La función lineal es aquella cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas:
La ecuación de la función lineal es:
También podemos escribir f(x) como y:
donde x es la variable independiente (es un valor que puedo elegir), «y» es la variabla dependiente (valor que depende de un cálculo) y la m es la pendiente.
La función lineal es equivalente a la función afín cuando n=0, que es el punto donde corta al eje «y».
Las siguientes funciones son ejemplos de funciones lineales:
Si delante de la x no hay ningún número, significa que en ese caso m=1. Cuidado no te confundas con m=0, que sería incorrecto.
Cómo expresar situaciones mediante una función lineal
Las situaciones que se pueden expresar mediante una función lineal son situaciones donde se produzca una proporcionalidad directa.
Por ejemplo, las compras suelen responder a este tipo de situaciones. Imaginemos que entramos en una tienda a comprar camisetas cuyo precio es de 10 euros.
Si compro una camiseta, evidentemente, el precio final que pago en la tienda será 10 euros:
Si compro dos camisetas, el precio final será de 20 euros:
Si compro tres camisetas, 30 euros:
Y así, sucesivamente.
Es decir, para saber el precio final, tengo que multiplicar el número de camisetas por 10, que es el precio de una camiseta:
Si llamo x al número de camisetas e «y» al precio final:
tengo representada esta situación en forma de función lineal:
donde x es la variable independiente (yo elijo cuántas camisetas comprar) e «y» es la variable dependiente (su valor depende de las camisetas que compre).
Por tanto, en cualquier situación de proporcionalidad directa, donde para obtener la variable dependiente hay que multiplicar la variable independiente por una cifra, se expresa con una función lineal.
Problemas resueltos de funciones lineales y afines
Problema 1
Una casa A de alquiler de coches cobra 4 € por cada hora. Otra casa B cobra una cantidad fija de 9 € más 3 € por cada hora.
a) Expresa mediante una función, para cada empresa, el precio del alquiler dependiendo del número de horas que se alquile el vehículo.
b) Representa las dos funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos.
c) Razona cuál es el número de horas a partir del cual interesa alquilar el coche en la casa B
Apartado a:
Vamos a empezar con la casa de alquiler A, que cobra 4 euros por cada hora:
Para 0 horas, el precio de alquiler será de 0 €:
Para 1 hora, el precio será de 4 euros, que lo obtengo de multiplicar el precio por hora por 1 hora:
Para 2 horas, el precio de alquiler será de 8 euros:
Y en esta tabla, he ido anotando los resultados, hasta 5 horas (se recomienda obtener al menos 3 valores para comprobar en la representación que los puntos están alineados):
Para saber el precio del alquiler de la casa A, multiplico el número de horas por 4, que es el precio por hora del alquiler:
Llamando x al tiempo en horas e «y» al precio del alquiler en euros:
Me queda la siguiente función lineal:
Seguimos con la casa de alquiler B que cobra una cantidad fija de 9 € más 3 € por cada hora:
Para 0 horas, el precio de alquiler será el de la cantidad fija de 9 €:
Para 1 hora, el precio de alquiler será de 12 euros, que se obtiene sumando a la cantidad fija, la multiplicación del precio por hora por 1 hora:
Para dos horas:
Siguiendo el mismo procedimiento, obtenemos el precio de alquiler desde 0 hasta 5 horas:
Para saber el precio del alquiler de la casa B, a la cantidad fija de 9 euros le sumo la multiplicación del número de horas por 3, que es el precio por hora del alquiler:
Llamando x al tiempo en horas e «y» al precio del alquiler en euros:
Tenemos la siguiente función afín:
Apartado b:
Vamos a representar cada una de las funciones.
La función correspondiente a la casa A es:
cuya tabla de valores en la tabla del apartado anterior:
Representamos cada uno de los puntos obtenidos (con representar 3 puntos hubiera sido suficiente):
Y finalmente unimos los puntos para reprensentar la función:
Hacemos lo mismo para la función de la casa B:
Su tabla de valores es:
Representamos cada uno de los puntos:
Y unimos los puntos:
Apartado c:
Nos piden razonar cuál es el número de horas a partir del cual interesa alquilar el coche en la casa B. Si observamos la gráfica de ambas funciones vemos que se cortan en el punto de coordenadas (9,36) (más abajo veremos cómo calcular estas coordenadas). Las coordenadas de ese punto de corte significa que para ambas gráficas, para 9 horas, el coste de alquiler es de 36 €:
A partir de 9 horas, será más barato el precio de alquiler en la casa B, que se puede ver también gráficamente, ya que a partir del punto de corte, la gráfica de la función de la casa B queda por debajo de la gráfica de la función de la casa A.
Para calcular el punto de corte, tenemos que resolver el sitema formado por las dos funciones:
Lo resolveremos por el método de igualación, ya que ya tengo despejada la «y» en ambas ecuaciones.
Igualamos los segundos miembros de cada ecuación:
Operamos y despejamos la x:
En la primera ecuación:
Sustituimos x por su valor y operamos:
Siendo la solución del sistema:
que son las coordenadas del punto de corte.
Problema 2
Una persona tiene dos ofertas de trabajo como comercial de ordenadores portátiles. En la oferta A, cobra un sueldo mensual fijo de 500 € y 25 € por portátil vendido y en la oferta B un fijo mensual de 750 € y 15 € por ordenador portátil vendido.
a) Expresa cada oferta en forma de la función que calcula las ganancias mensuales en función del número de ordenadores portátiles vendidos
b) ¿A partir de cuántos ordenadores portátiles vendidos ganará más dinero con la oferta A de trabajo?
Apartado a:
Empezamos con la oferta A, que tiene un sueldo mensual fijo de 500 € y 25 € por portátil vendido:
Si no vende ningún portátil, solo cobra el sueldo fijo:
Si vende un portátil, al sueldo fijo hay que sumarle 25 euros por un portátil:
Si vende dos portatiles, al sueldo fijo hay que sumarle 25 euros por dos portatiles:
De la misma forma, vamos obteniendo las ganancias hasta 5 portátiles vendidos:
Para calcular las ganancias mensuales, a la cantidad fija de 500 euros se le suma el número de portátiles vendidos multipliados por 25:
Si llamamos x al número de portátiles vendidos e «y» a las ganancias en euros:
La oferta A queda expresada con una función afín:
Seguimos con la oferta B, que tiene un fijo mensual de 750 € más 15 € por portátil vendido:
Si no vende ningún portátil, solo cobra el sueldo fijo:
Si vende un portátil, al sueldo fijo hay que sumarle 15 euros por un portátil:
Si vende dos portatiles, al sueldo fijo hay que sumarle 15 euros por dos portatiles:
Las ganancias de 0 a 5 portátiles vendidos son:
Calculamos las ganancias mensuales, sumando a la cantidad fija de 750 euros el número de portátiles vendidos multipliados por 15:
Llamando x al número de portátiles vendidos e «y» a las ganancias en euros:
Tenemos la oferta B expresada con una función afín:
Apartado b:
Para saber a partir de cuántos ordenadores portátiles vendidos ganará más dinero con la oferta A de trabajo, tenemos que calcular el punto de corte entre las dos funciones y para ello, resolvemos el sistema formado por ambas funciones:
Igualamos los segundos miembros de cada ecuación:
Operamos y despejamos la x:
Por tanto, cuando venda 25 portátiles, ganará el mismo dinero con las dos ofertas. A partir de 25, ganará más dinero con la oferta A.
No es necesario calcular el valor de «y», ya que no lo pide el ejercicio .
Problema 3
La siguiente gráfica representa la relación entre dos magnitudes:
a) Construye una tabla de valores en la que aparezcan los puntos marcados en la gráfica.
b) Construye la tabla de otra función, que asigne a cada valor de x tres unidades menos que la función anterior
c) ¿De qué tipo es la función que has obtenido? Halla su fórmula
d) A partir de esa fórmula, ¿cuál sería el valor de la primera función para x=10?
Apartado a:
Tal y como explico en la lección de cómo representar puntos y rectas en los ejes de coordenadas, para obtener la coordenada x de cada punto, trazamos una línea vertical, perpendicular al eje x, desde cada punto hasta el eje x. El punto de corte será la coordenada x.
Para obtener la coordenada «y» de cada punto, trazamos una línea horizontal, perpendicular al eje y, desde cada punto hasta el eje y. El punto de corte será la coordenada y.
Los puntos obtenidos son los siguientes:
que corresponden a la siguiente tabla de valores:
Apartado b:
El enunciado nos dice que construyamos la tabla de valores de otra función, cuyo valor de x sea igual a 3 unidades menos que la función anterior, es decir, a cada valor de x de la tabla de valores del apartado anterior, le restamos 3 y nos queda:
que corresponde a los siguientes puntos:
Apartado c:
Si representamos los puntos en los ejes de coordenadas y los unimos vemos que nos queda una función afín (representada en color azul).
En otras palabras, nos queda una recta que es paralela a la función anterior (representada en color rojo), desplazada tres unidades a la izquierda, ya que la hemos obtenido restando tres unidades al valor de x de la primera función:
Para hallar la fórmula de esta segunda función utilizaremos la fórmula de la recta que pasa por dos puntos:
Utilizaremos los dos primeros puntos: (-4,1) y (-3,3).
Sustituimos en la fórmula los valores de x1, x2, y1 e y2 correspondientes a los puntos:
Eliminamos paréntesis:
Operamos en los denominadores:
Multiplicamos en cruz para eliminar denominadores:
Multiplicamos para eliminar los paréntesis:
Y finalmente despejamos la y:
Apartado d:
En este apartado nos piden hallar el valor «y» de la primera función, para x=10, pero a partir de la segunda función.
Los valores de «y» la segunda función son iguales a los valores de «y» de la primera, para valores de x tres unidades menores, es decir, la primera función es igual a 1 para x=-1 (punto (-1,1) y la segunda función también es igual a 1, para x=-4, es decir, para una x tres unidades menor.
Por tanto, para hallar el valor de y para x=10 en la primera función, debemos calcular el valor de y en la segunda función para un valor de x tres unidades menor a 10, es decir para x=7.
Así que hallamos el valor de y en la segunda función para x=7.
En la fórmula de la segunda función:
Sustituimos la x por 7 y operamos:
Por tanto, en la segunda función, para x=7, y=23:
Así que en la primera función, tendrá el mismo valor de y, pero para una x tres unidades mayor, es decir, para x=10, y=23:
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