Cómo resolver sistemas de ecuaciones exponenciales. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo resolver sistemas de dos ecuaciones exponenciales con dos incógnitas, al mismo tiempo que voy resolviendo ejercicios paso a paso.

Para resolver este tipo de sistemas es necesario que sepas resolver ecuaciones exponenciales, así como dominar perfectamente las propiedades de las potencias, las propiedades de los logaritmos y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por cualquier método.

¡Empezamos!

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Qué son los sistemas de ecuaciones exponenciales

Los sistemas de ecuaciones exponenciales son sistemas de ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones tiene las incógnitas en el exponente.

Por ejemplo:

Procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones exponenciales

Para resolver ecuaciones exponenciales, hay que seguir los siguientes pasos:

  • Si en el las dos ecuaciones del sistema es posible expresar ambos miembros como potencias de la misma base:
    • Se igualan los exponentes de ambos miembros.
    • Nos queda un sistema otro sistema de ecuaciones lineal, con los exponentes, mucho más simple, que podemos resolver por el método más conveniente.
  • Si en alguna ecuación del sistema, no es posible expresar algún número como potencia:
    • Deberemos despejar una de las incógnitas en la ecuación que sí se pueda
    • En la ecuación exponencial que no hemos podido expresar como potencia, sustituimos una de las incógnitas despejada en el paso anterior, quedándonos una ecuación exponencial con una incógnita.
    • Resolvemos la ecuación exponencial del paso anterior, aplicando propiedades de las potencias y propiedades de los logaritmos
    • Con el resultado de la ecuación anterior, obtener el valor de la otra incógnita.
  • Si no es posible expresar ambos miembros con potencias de la misma base en ninguna de las dos ecuaciones:
    • Aplicamos propiedades de las potencias en ambas ecuaciones
    • Realizamos dos cambios de variable (uno para cada incógnita)
    • Sustituimos la nuevas variables y resolvemos el nuevo sistema de ecuaciones lineal obtenido
    • Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la solución

Escrito así, parece algo complicado, pero lo verás todo mucho más claro a medida que vayamos resolviendo ejercicios.

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones exponenciales

Vamos a resolver unos cuantos sistemas de ecuaciones exponenciales para ver cuáles son los pasos que tienes que dar en los posibles casos que te puedes encontrarte.

Ejercicio 1

En primer lugar, expresamos ambos lados de las dos ecuaciones como potencias de la misma base. Para ello, factorizamos el 81 y el 9, que lo expreso como 3 elevado a 4 y 3 elevado a 2, respectivamente:

Como a ambos lados de la ecuación tenemos el 3 como base, significa que los exponentes también deben ser iguales, por lo que podemos igualar los exponentes del primer miembro con los del segundo miembro.

En la primera ecuación nos queda:

Y en la segunda ecuación:

Tenemos por tanto otras dos nuevas ecuaciones con las mismas incógnitas que el sistema original:

Lo resolvemos, bien por el método de sustitución o por el método de reducción y nos da como solución:

Que a su vez, son las soluciones del sistema de ecuaciones exponenciales original.

Ejercicio 2

En este caso, el 36 no podemos expresarlo como potencia de base 3.

Sin embargo, la segunda ecuación ya la tenemos expresada con potencia de base 3 en ambos miembros:

Por lo que igualamos sus exponentes:

Y despejamos por ejemplos la x:

En la primera ecuación, que es la ecuación exponencial que no hemos podido expresar como potencia de base 3 ambos miembros:

Sustituimos la x por la expresión que acabamos de calcular:

Aplicamos las propiedades de las potencias en el primer término: en una multiplicación de potencias de la misma base, mantenemos la base y sumamos los exponentes. Como tenemos una suma de exponentes, lo ponemos como una multiplicación de potencias de base 3:

Ahora realizamos un cambio de variable. A 3 elevado a «y» le llamamos t:

Sustituimos este cambio en la ecuación anterior:

Nos queda una ecuación con una incógnita cuya solución es:

Sustituimos este valor de t en la ecuación del cambio de variable:

Expresamos el 9 como potencia de 3:

Al tener la misma base, podemos igualar exponentes y obtenemos directamente el resultado de «y»:

En la expresión donde despejamos la x:

Sustituimos el valor de «y» y operamos:

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones exponenciales es:

Ejercicio 3

En este caso, en la ecuación exponencial que tenemos, ya está expresada con potencias de la misma base.

En la primera ecuación:

Despejamos x:

En la segunda ecuación:

Sustituimos la x por la expresión que acabamos de calcular:

Aplicamos las propiedades de las potencias en el primer término:

Llegados a este punto, realizamos un cambio de variable. A 2 elevado a «y» le llamamos t:

Sustituimos 2 elevado a «y» por t en la ecuación:

Y despejamos t, cuyo valor es:

Sustituimos este valor de t en la ecuación del cambio de variable:

El 1 se puede expresar como una potencia de cualquier base, ya que cualquier número elevado a 0 es igual a 1. Como nos interesa tener como base 2, sustituimos el 1 por 2 elevado a 0:

Por tanto, igualamos exponentes y obtenemos directamente el valor de «y»:

Finalmente, en la expresión donde despejamos la x:

Sustituimos el valor de «y» y operamos:

Por lo que, la solución del sistema de ecuaciones exponenciales es:

Ejercicio 4

En este sistema, sólo podemos expresar ambos miembros de la segunda ecuación con potencias de base 2, ya que 64 es igual a 2 elevado a 6:

En la segunda ecuación:

Igualamos exponentes y nos queda:

Despejamos «y»:

Ahora, en la primera ecuación:

Sustituimos la «y» por la expresión que acabamos de calcular:

Aplicamos propiedades de las potencias en el segundo término:

Y realizamos un cambio de variable, llamando t a 2 elevado a x:

Sustituimos 2 elevado a x por t en la ecuación exponencial:

Y despejamos t:

Sustituimos este valor de t en la ecuación del cambio de variable:

Como no es posible expresar el segundo miembro como una potencia de base 2, aplicamos logaritmos a ambos miembros de la ecuación:

En el primer miembro, aplicamos propiedades de los logaritmos, pasando la x del exponente, multiplicando al logaritmo de 2:

Despejamos la x y operamos con la calculadora:

Por último, en la expresión donde despejamos «y»:

Sustituimos el valor de x obtenido y operamos:

Ejercicio 5

En este sistema de ecuaciones exponenciales no es posible expresar en ninguna de las dos ecuaciones los dos miembros con potencias de la misma base.

Por tanto, aplicamos las propiedades de las potencias en ambas ecuaciones:

Realizamos dos cambios de variable. A 3 elevado a  le llamamos t y a 2 elevado a «y» le llamamos s:

Sustituimos 3 elevado a x y 2 elevado a «y» por las nuevas variables:

Vamos a resolver el nuevo sistema que tenemos, que depende de t y s.

En la primera ecuación:

Despejamos t:

En la segunda ecuación:

Sustituimos la t por la expresión que acabamos de obtener:

Como tengo una resta de fracciones de distinto denominador en el primer miembro, obtengo denominador común:

Elimino el paréntesis, multiplicando el 2 por los términos de su interior:

Opero en el numerador y paso el 6 multiplicando al segundo miembro:

Despejo s:

En la expresión donde despejamos t:

Sustituyo s por su valor:

Por lo que los valores de t y s son:

Ahora vamos a deshacer los cambios de variable.

Me queda que 3 elevado a x es igual a 243, que es el valor de t:

Expreso 243 como 3 elevado a 5:

E iguala exponentes, obteniendo directamente el valor de x:

Ahora, 2 elevado a «y» es igual a 4, que es el valor de s:

Expreso 4 como 2 elevado a 2:

Igualo exponentes y me queda:

Por lo que la solución al sistema es:

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