A continuación te voy a explicar cómo resolver sistemas de dos ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas, al mismo tiempo que voy resolviendo ejercicios paso a paso.
Para resolver este tipo de sistemas es necesario que sepas resolver ecuaciones logarítmicas, así como dominar perfectamente la resolución de ecuaciones de segundo grado, las propiedades de los logaritmos y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por cualquier método.
¡Empezamos!
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Qué son los sistemas de ecuaciones logarítmicas
Los sistemas de ecuaciones logarítmicas son sistemas de ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones tiene las dentro de un logaritmo.
Por ejemplo:
Procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas
Vamos a ver cuál es el procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas:
- Si sólo hay una ecuación con logaritmos en el sistema:
- En primer lugar se despeja una incógnita en la ecuación que no tengamos logaritmos
- Se sustituye la incógnita despejada por la expresión obtenida en la ecuación que tenga logaritmos
- En la ecuación logarítmica con una incógnita que nos queda, se aplican propiedades de los logaritmos y se obtiene el valor de la otra incógnita
- Obtenemos el valor de la primera incógnita que despejamos
- Si ambas ecuaciones del sistema tienen logaritmos:
- Despejamos un logaritmo en una ecuación
- Sustituimos la expresión obtenida para el logaritmo en la otra ecuación
- Se despeja la incógnita en la ecuación logarítmica que quede, obteniendo su valor
- Obtenemos el valor de la primera incógnita que despejamos
- Si las incógnitas se encuentran en la base del logaritmo:
- Se eliminan logaritmos en cada ecuación por separado
- Se resuelve el sistema de ecuaciones sin logaritmos que nos queda
En este tipo de sistemas podemos tener más de un par de soluciones.
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones logarítmicas
Vamos a resolver unos cuantos sistemas de ecuaciones logarítmicas paso a paso para que tengas presentes los diferentes casos que te puedes encontrar.
Ejercicio 1
En la primera ecuación:
Despejamos la x:
En la segunda ecuación:
Sustituimos la x por la expresión que acabamos de obtener:
Nos ha quedado una ecuación logarítmica con una incógnita, que pasamos a resolver.
El objetivo de este tipo de ecuaciones es tener un sólo logaritmo en cada miembro, que lo conseguimos aplicando propiedades de los logaritmos, para después poder eliminar logaritmos y resolver la ecuación sin logaritmo que nos quede.
En el segundo miembro tenemos un número. Gracias a la siguiente propiedad, podemos convertir cualquier número en un logaritmo:
Por tanto, el 1 es igual al siguiente logaritmo en base 3:
Por otro lado, en el primer miembro aplico la propiedad de la división de logaritmos. La ecuación nos queda:
Ahora, elimino logaritmos:
Y paso a resolver la ecuación que me queda.
En primer lugar, la «y» que está en el denominador en el primer miembro, la paso multiplicando al segundo miembro:
Y resolvemos la «y»:
Ahora, en la expresión donde despejamos la x:
Sustituimos la «y» por su valor y operamos:
La solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es:
Ejercicio 2
En la primera ecuación:
Despejo x:
En la segunda ecuación:
Sustituyo la x por la expresión que acabamos de obtener:
Aplicamos propiedades de los logaritmos en ambos miembros:
Y elimino logaritmos:
Ahora elimino el paréntesis, multiplicando la «y» por el contenido su contenido:
Como tengo términos de segundo grado, paso todos los términos a uno de los miembros y reordeno:
Me queda una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son:
Ahora, para cada valor de «y» hay que calcular su correspondiente valor de x, sustituyendo el valor de «y» en la expresión donde despejamos la x:
Para el primer valor de «y» tenemos:
Y para el segundo valor de «y»:
Los dos pares de soluciones del sistema son:
Ejercicio 3
En este caso, las dos ecuaciones tienen logaritmos, por lo que no tenemos ninguna ecuación sin logaritmos en la que podamos despejar alguna incógnita.
Vamos a ver cómo proceder.
En la primera ecuación:
Despejamos el «log x»:
En la segunda ecuación:
Despejamos el «log x» por la expresión que acabamos de obtener:
Primero pasamos el 3 restando al segundo miembro y operamos y en el primer miembro, operamos con los términos semejantes con logaritmo que nos queda:
Despejamos «log «y»:
Convertimos el 1 el logaritmo:
Eliminamos logaritmos, obteniendo el valor de «y» directamente:
En la expresión donde despejamos «log x»:
Sustituimos «log y» por su valor:
Y operamos en el segundo miembro:
Convertimos el 2 en logaritmo:
Y eliminamos logaritmos, obteniendo el valor de x:
Por tanto, la solución del sistema es:
Ejercicio 4
En este caso, tenemos que transformar la primera ecuación para, por un lado, no tener logaritmos en el denominador y por otro, conseguir tener los mismos logaritmos que la segunda ecuación.
Para ello, pasamos «log y» multiplicando al segundo miembro y el 2 multiplicando al primer miembro (ya aprovechamos y eliminamos todos los logaritmos):
Ahora, aplicamos propiedades de los logaritmos, pasando el 2 que tengo delante de «log x» como exponente de la x:
En la primera ecuación me queda despejada «log x²», por tanto, en la segunda ecuación:
Sustituyo «log x²» por «log y»:
Opero con los términos semejantes en el primer miembro:
Pasamos el 2 dividiendo al segundo miembro y operamos:
Convertimos el 2 en logaritmo:
Y eliminamos logaritmos, obteniendo el valor de «y»:
En la primera ecuación:
Eliminamos logaritmos:
Sustituimos «y» por su valor:
Y despejamos x:
La solución del sistema es:
Ejercicio 5
En este sistema de ecuaciones logarítmicas, las incógnitas también están en la base del logaritmo.
En la primera ecuación:
Convertimos el 2 en logaritmo:
Y eliminamos logaritmos:
En la segunda ecuación:
Convertimos 1/2 en logaritmo:
Y eliminamos logaritmos:
Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones, que pasamos a resolver:
En la segunda ecuación:
Despejamos «y»:
En la primera ecuación:
Sustituimos «y» por la expresión obtenida anteriormente:
Eliminamos el paréntesis resolviendo el producto notable:
Reordenamos términos y operamos:
Y despejamos x:
En la expresión donde despejamos «y»:
Sustituimos la x por su valor y operamos:
La solución del sistema es:
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