Concavidad y convexidad de una función. Ejercicios resueltos.

En esta lección te explicaré cómo calcular la concavidad y convexidad de una función en un determinado intervalo sin necesidad de tener la gráfica de la función.

Pero antes, para no confundir términos, vamos a definir qué es una función cóncava y qué es una función convexa.

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Concavidad y convexidad

Una función será cóncava en un intervalo cuando tenga esta “forma de valle”:

Una función será convexa en un intervalo cuando tenga “forma de montaña”:

No hay un criterio único para establecer si la concavidad y la convexidad se definen así o al contrario, por lo que es posible que en otros textos te lo encuentres definido al contrario.

Cómo saber si una función es cóncava o convexa en un intervalo

Teniendo en cuenta la definición anterior para concavidad y convexidad, una función será cóncava en un intervalo cuando el valor de la derivada segunda de un punto de ese intervalo sea mayor que cero:

Una función será convexa en un intervalo cuando el valor de la derivada segunda de un punto de ese intervalo sea menor que cero:

En los puntos de inflexión, la función cambia de cóncava a convexa o viceversa.

Ejercicio resuelto de cómo calcular la concavidad y convexidad en los intervalos de una función

Vamos a calcular los intervalos donde la siguiente función es cóncava o convexa:

Necesitamos estudiar el signo de la derivada segunda de la función. Por tanto, vamos a calcular la derivada segunda.

La derivada primera es:

Y la derivada segunda:

Ahora vamos a calcular en qué intervalos la derivada segunda es mayor o menor que cero.

Para ello, igualamos la derivada segunda a cero:

Y resolvemos la ecuación, cuyos resultados son:

Los colocamos en la recta numérica:

Tenemos 3 intervalos:

  • Desde menos infinito hasta -1,24
  • Desde -1,24 hasta 0,21
  • Desde 0,21 hasta infinito

¿Cómo sabemos si f”(x) es positiva o negativa en cada intervalo?

Para cada intervalo, elegimos un punto que pertenezca a cada intervalo y calculamos el valor de f”(x) en ese punto.

Para el intervalo comprendido entre el menos infinito y el -1,24, elijo el punto x=-2. Calculo el valor de f”(-2):

El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función será cóncava en el intervalo que va desde menos infinito hasta -1,24:

Y lo representamos así en la recta:

Seguimos con el intervalo que va desde -1,24 hasta 0,21. Elijo el punto x=0 y calculo el valor de f”(x) para ese punto:

Es menor que cero, por lo que la función es convexa en ese intervalo:

Y lo representamos en la recta:

Para el tercer intervalo, elegimos el punto x=1:

La derivada segunda en ese intervalo es mayor que cero, por lo que la función será cóncava:

Cuya representación en la recta es:

Y ya tenemos los tres intervalos de la función definidos en cuanto a concavidad y convexidad se refiere.

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