▷ Ecuación de la circunferencia. Ejercicios resueltos paso a paso

Ecuación de la circunferencia

A coninuación te voy a explicar cómo calcular la ecuación de la circunferencia. Veremos qué datos necesitamos para obtenerla, cómo se expresa esta ecuación y resolveremos ejercicios paso a paso aplicando lo aprendido.

¡Empezamos!

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Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Si tenemos una circunferencia de centro C(a,b) y de radio r y tomamos cualquier punto que pertenezca a la circunferencia:

El radio siempre va a ser la distancia entre el punto P de la circunferencia y el centro C:

Te recuerdo, que la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos es la siguiente:

En nuestro caso, los dos puntos que tenemos son el punto P y el punto P:

Sustituimos las coordenadas de ambos puntos en la fórmula:

Pasando la raíz como cuadrado al segundo miembro nos queda:

Que es la ecuación de la circunferencia con centro en C(a,b) y de radio r.

Por tanto, para obtener la ecuación de la circunferencia, debemos conocer el centro y el radio y tan sólo debemos sustituir a y b por las coordenadas del centro y r por el valor del radio.

Por ejemplo, para obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 5 sería, sustituimos en la fórmula anterior a y b por 0 y r por 5:

Operamos y nos queda:

La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, por ejemplo con centro en C(5,4) y radio 3, la obtenemos sustituyendo “a” por 5, “b” por 4 y el radio por 3:

Podemos seguir operando en esta ecuación y obtendríamos la ecuación de la circunferencia en forma general, que es justo lo que veremos a continuación.

Ecuación de la circunferencia: forma general

Como acabamos de ver, si conocemos las coordenadas del centro de la circunferencia y su radio podemos llegar a esta expresión de la ecuación de la circunferencia:

Si desarrollamos los productos notables en el primer miembro nos queda:

Pasamos todos los términos al primer miembro y reordenamos términos para dejarlos de esta forma:

Si llamamos “m” al coeficiente que queda delante de la “x”:

Llamamos “n” al coeficiente que queda delante de la “y”:

Y llamamos “p” a los términos que no llevan “x” ni “y”:

Y los sustituimos en la expresión anterior, nos queda la siguiente fórmula:

Que corresponde a la ecuación de la circunferencia en su forma general.

En la forma general de la ecuación de la circunferencia, los términos elevados al cuadrado, es decir, x² e y², deben tener el mismo coeficiente, o lo que es lo mismo, el número que tengan delante debe ser el mismo. En caso contrario, no sería la ecuación de una circunferencia.

Para obtener el centro a partir de esta ecuación, debemos expresar las coordenadas del centro, a y b, en función de m y de n, que las obtenemos despejándolas a partir de las expresiones anteriores:

De esta manera, el centro lo podemos obtener como:

De la misma forma, si en la expresión de “p”, sustituimos a y b por sus expresiones en función de m y n:

Podemos expresar el radio de la siguiente manera:

Aunque te parezca que las fórmulas son algo complicadas, verás que a la hora de aplicarlas para resolver ejercicios resulta mucho más sencillo.

Ejercicios resueltos sobre la ecuación de la circunferencia

Vamos a resolver unos cuantos ejercicios para aplicar todo lo aprendido sobre la ecuación de la circunferencia.

Ejercicio 1

Halla la ecuación de la circunferencia que tiene de centro el punto C(-2,3) y de radio r=4. ¿Pertenecen los puntos A(2,3), B(-4,3) y D(1,5) a la circunferencia?

En este caso tenemos el centro y el radio:

Por tanto, en la siguiente expresión:

Sustituimos las coordenadas del centro y el radio por sus valores:

Desarrollamos los productos notables y el cuadrado del segundo miembro:

Y reordenamos términos para obtener la ecuación de la circunferencia en su forma general:

Para saber si cada uno de los puntos pertenecen a la circunferencia, debemos sustituir las coordenadas de cada punto por x y por “y” y comprobar si se cumple la igualdad. Si se cumple, el punto pertenece a la circunferencia y en caso contrario, el punto no pertenece.

Para ver si el punto A(2,3) pertenece a la circunferencia, sustituimos x por 2 e “y” por 3:

Operamos en el primer miembro y vemos que efectivamente el resultado es 0, igual al del segundo miembro, por tanto el punto A sí pertenece a la circunferencia:

Comprobamos ahora el punto B(-4,3), sustituyendo x e “y” por las coordenadas del punto:

Al operar en el primer miembro, el resultado no es igual al del segundo miembro, luego el punto B no pertenece a la circunferencia:

Por último, hacemos lo mismo con el punto C(1,5):

El resultado del primer miembro no es igual a cero, por lo que el punto C tampoco pertenece a la circunferencia:

Ejercicio 2

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(2,-1) y cuyo centro es C(-1,3).

En este ejercicio conocemos el centro y un punto de la circunferencia:

Nos falta conocer el radio de la circunferencia para poder calcular su ecuación, que es igual a la distancia entre el punto A y el centro C:

Ahora ya conocemos el centro y el radio:

Por tanto, ya podemos calcular la ecuación de la circunferencia.

En la siguiente expresión:

Sustituimos a, b y r por sus valores:

Operamos:

Y reordenamos términos para dejar la ecuación en su forma general:

Ejercicio 3

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(2,-1) y que sea tangente a la recta r: y=x+2.

En este caso tenemos como datos el centro y una recta tangente a la circunferencia:

El radio será igual a la distancia entre el centro y la recta, ya que la recta tangente siempre es perpendicular al radio.

La fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta es:

Para poder aplicarla, necesitamos poner la ecuación de la recta en su forma general:

Sustituimos los coeficientes de la ecuación de al recta y las coordenadas del centro en la ecuación, por lo que obtenemos el valor del radio:

Ya tenemos el valor del centro y del radio:

Sustituimos sus valores en la ecuación de la circunferencia:

Desarrollamos los cuadrados:

Pasamos el 2 multiplicando al primer miembro para eliminar el denominador:

Y reordenamos términos:

Observa como el coeficiente del término x² y del término y² es el mismo.

Ejercicio 4

Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

Vamos a calcular el centro y el radio a partir de la ecuación general de una circunferencia:

Para ello hay que obtener a y b en función de m y n:

Las expresiones del centro y del radio serán:

Vamos con la primera circunferencia:

Calculamos los valores de a y b y obtenemos directamente el centro:

El radio lo calculamos a partir de esta fórmula:

Sustituimos a, b y p por sus valores y operamos:

Seguimos con la segunda circunferencia:

En primer lugar simplificamos la expresión para que delante de los términos al cuadrado tengamos un 1, tal y como es la forma general de la ecuación de una circunferencia:

Calculamos a y b para obtener el centro:

Y calculamos el radio:

Y finalmente, la tercera circunferencia:

Calculamos el centro:

El valor del radio es:

Ejercicio 5. Ecuación de la circunferencia que pasa por dos puntos

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,4) y que tiene de radio r=5.

En este caso conocemos el radio, pero no conocemos el centro. En su lugar nos dan dos puntos que pertenecen a la circunferencia.

A partir de los dos puntos que pertenecen a la circunferencia debemos calcular las coordenadas del centro a y b. Para ello partimos de la ecuación de la circunferencia:

Sustituimos las coordenadas del punto A por x e y en la fórmula:

Desarrollamos los cuadrados:

Y reordenamos términos:

Sustituimos las coordenadas del punto B por x e y en la fórmula:

Desarrollamos los cuadrados:

Y reordenamos términos:

Restamos las dos ecuaciones obtenidas para eliminar los términos que están al cuadrado:

Y de la expresión obtenida despejamos a:

En la primera de las ecuaciones anteriores:

Sustituimos “a” por su expresión en función de “b”:

Desarrollamos el producto notable y eliminamos el paréntesis multiplicándolo por el -2:

Operamos y reordenamos términos:

Nos queda una ecuación de segundo grado completa, que la resolvemos y obtenemos las siguientes soluciones:

El primer valor de b, lo sustituimos en la expresión donde despejamos “a” y obtenemos su valor:

Con estos valores de a y b tenemos uno de los posibles centros de la circunferencia que cumple las condiciones del enunciado:

Del segundo valor de b, calculamos otro valor de “a”:

Obteniendo las coordenadas del otro centro que cumple las condiciones:

Con el primer centro y conociendo el radio, obtenemos la ecuación de la primera circunferencia:

Y con el segundo centro y el mismo valor del radio, obtenemos la ecuación de la segunda circunferencia:

Ejercicio 6. Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,2), B(2,1) y D(0,0).

En este ejercicio no conocemos ni el centro ni el radio de la circunferencia.

A partir de la ecuación de la circunferencia en su forma general:

Debemos encontrar los valores de m, n y p, a partir de los cuales obtendremos el centro y el radio. Para ello, como tenemos tres incógnitas, necesitamos tres ecuaciones, que las obtendremos sustituyendo las coordenadas de cada punto en la ecuación.

Sustituimos las coordenadas del punto A por x e y en la ecuación:

Sustituimos las coordenadas del punto B por x e y en la ecuación:

Y hacemos lo mismo con el punto C:

De la tercera ecuación despejamos el valor de p:

En la primera ecuación:

Despejamos el valor de p, operamos y reordenamos términos:

En la segunda ecuación:

Despejamos el valor de p, operamos y reordenamos términos:

Y con las dos primeras ecuaciones simplificadas, formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Cuya solución es:

Conocidos los valores de m, n y p, los sustituimos en la fórmula de la ecuación de la circunferencia en su forma general:

Y nos queda:

Finalmente eliminamos denominadores:

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