Vamos a ver cómo obtener la ecuación de la perpendicular común a dos rectas que se cruzan, que es lo mismo que decir la ecuación de una recta que se apoya en otras dos rectas dadas y que sea perpendicular a ambas rectas, con ejercicios resueltos paso a paso.
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Cómo obtener la ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan
En primer lugar obtendremos la ecuación de una recta que se apoye en otras dos rectas dadas, tomando un punto genérico de cada recta, P1 y P2, para después obtener el vector formado por dichos puntos. Cada punto genérico de la recta tendrá esta forma, obtenido a partir de las ecuaciones parmétricas de la recta:
La recta que se apoya sobre otras dos, tendrá como punto perteneciente a ella P1 (o P2 también podria ser) y su vector de dirección será el vector formado por los puntos genéricos P1 y P2.
Nos quedará una ecuación de la recta genérica que dependerá de los parámetrost y s.
Para obtener la ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan, obligaremos a que la recta genérica sea perpendicular a ambas rectas, igualando a cero el producto escalar del vector director de la recta genérica por el vector director de cada una de las rectas:
De esta forma, obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde calcularemos los valores de los parámetros t y s, que podremos sustituir en la ecuación genérica para finalmente obtener la ecuación de la recta perpendicular común a las dos rectas que se cruzan.
En el siguiente apartado, veremos un ejercicior resuelto paso a paso cobre cómo obtener la ecuación de la recta perpendicular a dos rectas que se cruzan, siguiendo estos pasos.
Ejercicio resuelto sobre una recta que se apoya en otras dos y es perpendicular a ambas
Tenemos las ecuaciones de las rectas r1 y r2:
Nos piden calcular la ecuación de la recta perpendicular común a ambas rectas.
Antes de nada, debemos comprobar que se trate de dos rectas que se cruzan, que en este caso sí lo son, pero no lo voy a realizar por no alargar más el ejercicio.
Vamos a empezar obteniendo la ecuación de la recta que se apoya en las rectas r1 y r2.
Obtenemos las coordenadas de un punto genérico de la recta r1 a partir de sus ecuaciones paramétricas:
Obtenemos también las coordenadas de un punto genérico de la recta r2 a partir de sus ecuaciones paramétricas:
Obtenemos el vector formado por los puntos P1 y P2:
Operamos:
La recta genérica que se apoya sobre r1 y r2, pasa por el punto P1 y su vector de dirección es el vector formado por los puntos genéricos P1 y P2:
La ecuación continua de la recta genérica es:
Ésta es la ecuación de la recta que se apoya sobre las rectas dadas r1 y r2, expresada en función de los parámetros t y s.
Una vez tenemos la ecuación de la recta genérica que se apoya en r1 y r2, vamos a obtener la ecuación de la recta perpendicular común a ambas rectas. Para ello, igualamos a cero el producto escalar del vector director de la recta genérica (vector P1P2) por el vector director de cada una de las rectas:
El vector de dirección de la recta r1 es:
El vector de dirección de la recta r2 es:
El vector de dirección de la recta genérica es:
Vamos a empezar realizando el producto escalar del vector director de la recta genérica por el vector director de la recta r1 e igualándolo a cero:
Sustituimos cada vector por sus componentes:
Realizamos el producto escalar de ambos vectores en el primer miembro, quedando el segundo miembro igual a cero:
Operamos y reagrumpamos términos:
Ahora realizamos el producto escalar del vector director de la recta genérica por el vector director de la recta r2 y lo igualamos a cero:
Sustituimos cada vector por sus componentes:
En el primer miembro, realizamos el producto escalar, mateniendo el segundo miembro a cero:
Operamos y reagrumpamos términos:
Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógntias:
Cuya solución es:
Por último, en la ecuación de la recta genérica que se apoya sobre r1 y r2:
Sustituimos t y s por su valor:
Operamos:
Y multiplicamos las componentes del vector director de la recta perpendicular por 5 para que nos queden números enteros en el denominador de la ecuación:
Obteniendo finalmente la ecuación de la recta perpendicular común a las dos rectas dadas r1 y r2.
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