Ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta. Ejercicios resueltos.

Te voy a explicar las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta, conocidos un punto por donde pase la recta y su vector de dirección.

Además, aplicaremos lo aprendido resolviendo ejercicios y ejemplos.

Las demás formas de expresar la ecuación de una recta, las tienes explicadas paso a paso en el Curso de Geometría Analítica en el Planocon ejercicios resueltos.

Es importante conocer y dominar todas las formas en las que se puede expresar una recta, ya que eso nos permitirá calcular la ecuación de la recta en función de los datos que conozcamos.

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Ecuación vectorial de la recta

Cualquier recta, queda totalmente definida con una dirección y un punto.

Por tanto, vamos a obtener la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto P0:

Y cuyo vector de dirección queda definido por el vector v:

Tal y como se muestra en la siguiente imagen:

Vamos a demostrar cómo obtener la ecuación vectorial de una recta, sabiendo su vector de dirección y un punto por donde pasa.

Para ello, podemos tomar un punto cualquiera de la recta, como por ejemplo el punto P:

La ecuación vectorial vendrá determinada por el vector OP, es decir, el vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto P, perteneciente a la recta:

Podemos hallar el vector OP como la suma vectorial del vector OP0 más el vector P0P, siendo el vector OP0 un vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en P0, y el vector P0P un vector con origen en el punto P0 y extremo en el punto P:

Que gráficamente queda:

Por otro lado, el vector P0P, lo podemos expresar en función del vector de dirección de la recta, multplicando el vector v por un número t, tal que lo convierta en un vector con la longitud requerida:

Por lo que la ecuación vectorial, queda expresada con la siguiente fórmula:

Que expresada en función de las coordenadas de cada vector queda:

Fórmula que utilizaremos para calcular la ecuación vectorial de cualquier recta, conociendo su vector de dirección y un punto por donde pase, siendo X0 e Y0, las cooredadas del punto y a y b las coordenadas del vector de dirección y t es un número perteneciente al conjunto de los números reales.

Aunque la demostración resulte algo confusa, verás que hallar la ecuación vectorial es muy sencillo.

Vamos a verlo en el siguiente ejemplo:

Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P0 (2,-3) y cuyo vector de dirección es v=(1,5).

Según los datos del enunciado, la recta pasa por el punto:

 

Y tiene como vector de dirección:

Vamos a obtener su ecuación vectorial.

Para ello, a partir de la fórmula de la ecuación vectorial de una recta:

Sustituimos las coordenadas del X0 e Y0 por las coordenadas del punto y las coordenadas a y b por las coordenadas del vector, y nos queda:

Y ya tenemos la ecuación vectorial buscada.

Ecuación paramétrica de la recta

Seguimos ahora con la ecuación paramétrica de la recta.

Esta ecuación se calcula a partir de la ecuación vectorial:

En primer lugar, multiplicamos el número t por las coordenadas del vector:

Ahora sumamos ambos vectores, las coordenadas x de los vectores por un lado y las coordenadas “y” por el otro, expresándolas en un sólo vector:

Llegados a este punto, podemos escribir en una ecuación la coordenada x y en otra ecuación la coordenada “y” del vector obtenido anteriormente, obteniendo las ecuaciones paramétricas de una recta:

Donde X0 e Y0 cooresponden a las coordenadas del punto por donde pasa la recta y a y b  a las coordenadas de su vector de dirección:

Vamos a ver un ejemplo de como calcular las ecuaciones paramétricas de una recta:

Hallar las ecuaciones paramétiricas de la recta que pasa por el punto P0 (2,-3) y cuyo vector de dirección es v=(1,5).

Para calcular las ecuaciones paramétricas, antes debemos calcular la ecuación vectorial, que ya la tenemos calculada del ejemplo anterior:

Ahora multiplicamos la t por las coordenadas del vector:

Y sumamos las coordenadas de ambos vectores, expresándolas en un sólo vector:

Finalmente, escribimos la ecuación de la coordenada x por un lado y la ecuación de la coordenada “y” por el otro, llegando a las ecuaciones paramétricas.

Ejercicio resuelto sobre las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta

Vamos a resolver ahora un ejercicio sobre cómo calcular la ecuación vectorial y paramétrica de una recta.

Determina las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por el punto A (-2,-2) y tiene como vector de director v (1,3).

Tenemos que calcular las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por el punto:

Y tiene como vector de dirección:

Empezamos por la ecuación vectorial, por lo que utilizaremos la fórmula de la ecuación vectorial de una recta:

Sustituimos X0 e Y0 por las coordenadas del punto A y a y b por las coordenadas del vector de director:

Ya hemos obtenido la ecuación vectorial.

Vamos a calcular ahora las ecuaciones paramétricas.

Para ello a partir de la ecuación vectorial que acabamos de calcular, multiplicamos la t por las coordenadas del vector director:

Ahora sumamos las coordenadas de cada vector, expresándolas en un solo vector:

Y finalmente escribimos la ecuación de la coordenada x y de la coordenada “y” por separado:

Llegando a las ecuaciones paramétricas.

Si quieres aprender el resto de ecuaciones de la recta, como ya te comenté al principio, las tienes explicadas en el Curso de Geometría Analítica en el Planocon ejercicios resueltos paso por paso.

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